Calcule as integrais
a) \int x^{2}\left(x^{3}+5\right)^{0} \mathrm{~d} x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int x^{2}\left(x^{3}+5\right)^{0}\,\mathrm{d}x.
Informações que temos do enunciado:
  • A função a integrar é x^{2}\left(x^{3}+5\right)^{0}.
  • Não há limites (é uma primitiva / integral indefinida), então o resultado deve conter a constante de integração C.

Passo 2

Observação sobre a potência zero: para qualquer número real não nulo a vale a identidade
a^{0}=1.
No caso da expressão \left(x^{3}+5\right)^{0}, isso significa que, sempre que x^{3}+5\neq0, tem-se \left(x^{3}+5\right)^{0}=1. Há um ponto especial onde x^{3}+5=0, isto é x=-\sqrt[3]{5}, em que a expressão 0^{0} é indeterminada; na prática de cálculo de primitiva tratamos a função como igual a 1 em intervalos que não contenham esse ponto isolado. Para a resolução típica de prova podemos simplificar diretamente usando a identidade da potência zero.

Passo 3

Usando a observação anterior, simplificamos o integrando:
x^{2}\left(x^{3}+5\right)^{0}=x^{2}\cdot 1 = x^{2}.
Portanto a integral fica
\int x^{2}\left(x^{3}+5\right)^{0}\,\mathrm{d}x = \int x^{2}\,\mathrm{d}x.

Passo 4

Agora vamos aplicar a regra básica de integração para potências de x (regra do “power rule” para primitivas). A fórmula é:
\int x^{n}\,\mathrm{d}x = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C,\quad \text{para } n\neq -1.
Explicando cada símbolo:
  • x é a variável de integração.
  • n é um número real que indica a potência de x.
  • C é a constante de integração (porque primitiva é determinada até uma constante).
    Essa regra é simplesmente o processo inverso da derivada de x^{n+1}/(n+1), já que
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\!\left(\frac{x^{n+1}}{n+1}\right) = x^{n}.

Passo 5

Aplicando a fórmula com n=2:
\int x^{2}\,\mathrm{d}x = \frac{x^{2+1}}{2+1}+C = \frac{x^{3}}{3}+C.

Passo 6

Checagem rápida por derivação: derivando \dfrac{x^{3}}{3}+C obtém-se
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\!\left(\frac{x^{3}}{3}+C\right)=\frac{3x^{2}}{3}=x^{2},
que é exatamente o integrando simplificado, então a primitiva está correta. Bom trabalho — você já resolveu a integral! Um passo simples e direto: reconhecer que a potência zero anula a expressão complicada e sobra só um polinômio.

Resposta

\dfrac{x^{3}}{3}+C

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