Calcule a área da regiño limitada pelas curvas y=x^{2} e y=4 x-x^{2}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a área da região limitada pelas curvas y=x^{2} e y=4x-x^{2}.
Informações dadas:
  • Duas funções em x: y=x^{2} e y=4x-x^{2}.
  • A tarefa é achar a área da região comum limitada por essas duas curvas (a “folha” entre elas).
O que precisamos encontrar:
  • Os pontos de interseção das curvas (os limites de integração).
  • Qual curva fica por cima da outra no intervalo entre esses pontos.
  • Montar e calcular a integral definida que dá a área.

Passo 2

Encontrar os pontos de interseção: resolver \;x^{2}=4x-x^{2}.
Resolvendo:
x^{2}=4x-x^{2}
2x^{2}-4x=0
2x(x-2)=0
Logo as soluções são \;x=0 e \;x=2.
Calcular os correspondentes valores de y (para ver os pontos no plano):
  • Em x=0: y=0^{2}=0.
  • Em x=2: y=2^{2}=4 (ou pela outra função 4\cdot2-2^{2}=8-4=4).
    Portanto os pontos de interseção são (0,0) e (2,4).

Passo 3

Determinar qual curva é a superior entre x=0 e x=2.
Escolhe-se um ponto interior, por exemplo x=1:
  • y_{\text{parabola1}}=x^{2}=1^{2}=1.
  • y_{\text{parabola2}}=4x-x^{2}=4\cdot1-1^{2}=3.
Como 3>1, a curva y=4x-x^{2} está acima de y=x^{2} no intervalo [0,2]. Geometricamente, a região limitada é o conjunto dos pontos entre essas duas curvas para x entre 0 e 2.

Passo 4

Formulação da área por integral: a área A entre duas curvas y_{\text{top}}(x) e y_{\text{bottom}}(x) de x=a até x=b é
A=\int_{a}^{b}\bigl(y_{\text{top}}(x)-y_{\text{bottom}}(x)\bigr)\,dx.
Aqui a=0, b=2, y_{\text{top}}(x)=4x-x^{2} e y_{\text{bottom}}(x)=x^{2}. Portanto
A=\int_{0}^{2}\bigl((4x-x^{2})-x^{2}\bigr)\,dx.

Passo 5

Simplificar o integrando:
(4x-x^{2})-x^{2}=4x-2x^{2}.
Então
A=\int_{0}^{2}\bigl(4x-2x^{2}\bigr)\,dx.

Passo 6

Calcular a integral usando a regra da potência: para n\neq -1,
\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C.
Aplicando termo a termo (lembrando que constantes podem ser fatoradas):
\int 4x\,dx = 4\cdot\frac{x^{2}}{2}=2x^{2}, \qquad \int 2x^{2}\,dx = 2\cdot\frac{x^{3}}{3}=\frac{2}{3}x^{3}.
Portanto uma antiderivada do integrando é
F(x)=2x^{2}-\frac{2}{3}x^{3}.

Passo 7

Avaliar a integral definida de 0 a 2:
A=F(2)-F(0).
Calcular F(2):
F(2)=2\cdot2^{2}-\frac{2}{3}\cdot2^{3}=2\cdot4-\frac{2}{3}\cdot8=8-\frac{16}{3}.
Calcular F(0)=0. Então
A=8-\frac{16}{3}=\frac{24-16}{3}=\frac{8}{3}.
Em forma decimal, isso é aproximadamente 2{,}666\ldots.

Resposta

\dfrac{8}{3}

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