Calcule a área da regiño limitada pelas curvas
e
Passo 1
O enunciado pede para calcular a área da região limitada pelas curvas
e
.
Informações dadas:
- Duas funções em
: e . - A tarefa é achar a área da região comum limitada por essas duas curvas (a “folha” entre elas).
O que precisamos encontrar:
- Os pontos de interseção das curvas (os limites de integração).
- Qual curva fica por cima da outra no intervalo entre esses pontos.
- Montar e calcular a integral definida que dá a área.
Passo 2
Encontrar os pontos de interseção: resolver
.
Resolvendo:
Logo as soluções são
e
.
Calcular os correspondentes valores de
(para ver os pontos no plano):
- Em
: . - Em
: (ou pela outra função ).
Portanto os pontos de interseção sãoe .
Passo 3
Determinar qual curva é a superior entre
e
.
Escolhe-se um ponto interior, por exemplo
:
-
. -
.
Como
, a curva
está acima de
no intervalo
. Geometricamente, a região limitada é o conjunto dos pontos entre essas duas curvas para
entre
e
.
Passo 4
Formulação da área por integral: a área
entre duas curvas
e
de
até
é
Aqui
,
,
e
. Portanto
Passo 5
Simplificar o integrando:
Então
Passo 6
Calcular a integral usando a regra da potência: para
,
Aplicando termo a termo (lembrando que constantes podem ser fatoradas):
Portanto uma antiderivada do integrando é
Passo 7
Avaliar a integral definida de
a
:
Calcular
:
Calcular
. Então
Em forma decimal, isso é aproximadamente
.