Calcule as integrais:
Para cada um dos itens a seguir, calcule a integral dupla:
\iint_{R} \frac{x e^{x}}{y} d A, onde R=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} ; 0 \leq x \leq 1,1 \leq y \leq 2\right\}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{R} \frac{x e^{x}}{y}\,dA,
onde R é o retângulo dado por
0 \le x \le 1,\quad 1 \le y \le 2.
O conteúdo principal é usar o Teorema de Fubini para transformar a integral dupla em produto de integrais simples, pois a função se separa em \frac{x e^x}{y} = x e^x \cdot \frac{1}{y}.

Passo 2

Pelo Teorema de Fubini, como R é produto de intervalos e a função é contínua em R, temos
\iint_{R}\frac{x e^{x}}{y}\,dA =\int_{0}^{1}\!\!\int_{1}^{2} \frac{x e^{x}}{y}\,dy\,dx =\int_{0}^{1} \Bigl(x e^{x}\Bigr)\,dx \;\times\;\int_{1}^{2} \frac{1}{y}\,dy.

Passo 3

Agora calculamos
\int_{0}^{1} x e^{x}\,dx.
Usando integração por partes com u = x, dv = e^{x}dx, vem du = dx, v = e^{x}, logo
\int_{0}^{1} x e^{x}\,dx =\Bigl[x e^{x}\Bigr]_{0}^{1}-\int_{0}^{1} e^{x}\,dx =\bigl(e - e\bigr)-\bigl(e - 1\bigr) =0 - (e-1) =1.

Passo 4

Em seguida, calculamos
\int_{1}^{2} \frac{1}{y}\,dy =\Bigl[\ln(y)\Bigr]_{1}^{2} =\ln(2)-\ln(1) =\ln(2).

Passo 5

Juntando os resultados, a integral dupla vale
1 \times \ln(2) = \ln(2).

Resposta

\ln(2)

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