Resolva os seguintes problemas, aplicando os conceitos de Séries de Taylor e Maclaurin. Mostre todos os cálculos intermediários e justifique suas respostas.
Encontre a série de Taylor de f(x)=\ln x centrada em a=1. Também encontre o raio de convergência associado. (Não é necessário mostrar que R_{n}(x) \rightarrow 0.)

Passo 1

Queremos desenvolver a função f(x)=\ln x em torno de a=1 usando a fórmula da série de Taylor centrada em a:
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(1)}{n!}\,(x-1)^{n}.
Para isso, precisamos
  1. Calcular as derivadas gerais f^{(n)}(x).
  2. Avaliá-las em x=1 para obter f^{(n)}(1).
  3. Montar a soma e
  4. Determinar o raio de convergência com o teste da razão.

Passo 2

Começamos encontrando uma fórmula para a n-ésima derivada de f(x)=\ln x. Observamos:
f(x)=\ln x,\quad f'(x)=\frac1x,\quad f''(x)=-\frac1{x^2},\quad f^{(3)}(x)=\frac{2!}{x^3},\;\dots
Por indução (ou reconhecendo o padrão de derivação de potências de x), para n\ge1 vale
f^{(n)}(x) =\frac{d^{\,n}}{dx^{n}}\ln x =(-1)^{\,n-1}\,(n-1)!\;x^{-n}.
Em particular, em x=1:
f^{(n)}(1) =(-1)^{\,n-1}\,(n-1)!\,.

Passo 3

Substituindo na fórmula da série de Taylor: para n\ge1 o coeficiente é
\frac{f^{(n)}(1)}{n!} =\frac{(-1)^{\,n-1}\,(n-1)!}{n!} =\frac{(-1)^{\,n-1}}{n},
e f(1)=\ln1=0 anula o termo n=0. Logo a expansão fica
\ln x =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{\,n-1}}{n}\,(x-1)^{n}.

Passo 4

Para achar o raio de convergência R, aplicamos o teste da razão aos coeficientes a_n=(-1)^{n-1}/n:
\lim_{n\to\infty}\Bigl|\frac{a_{n+1}}{a_n}\Bigr| =\lim_{n\to\infty}\frac{1/(n+1)}{1/n} =\lim_{n\to\infty}\frac{n}{n+1} =1.
O teste da razão impõe \lvert x-1\rvert<1, daí R=1.

Resposta

\ln x =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{\,n-1}}{n}\,(x-1)^{n}, \qquad \text{Raio de convergência: }R=1.ê

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