1,6] Calcule \frac{\partial_{j}^{3} f}{\partial x \partial y}(x, y) para f(x, y)=y \operatorname{sen}(x)+4 x^{4} y+2 y^{3}-\ln \left(y^{2}+1\right).

Passo 1

O enunciado pede o derivada mista de segunda ordem \displaystyle f_{xy}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\Bigl(\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)\Bigr)
para a função
f(x,y)=y\sin(x)+4x^{4}y+2y^{3}-\ln\bigl(y^{2}+1\bigr).
Vamos primeiro achar \partial f/\partial x e depois derivar esse resultado em relação a y.

Passo 2

Calcular \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}.
  • De y\sin(x) vem y\cos(x).
  • De 4x^{4}y vem 16x^{3}y.
  • Os termos 2y^{3} e -\ln(y^{2}+1) não dependem de x, então derivam zero.
    Logo,
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y) = y\cos(x) + 16x^{3}y.

Passo 3

Agora derivamos esse resultado em relação a y:
  • De y\cos(x) obtemos \cos(x).
  • De 16x^{3}y obtemos 16x^{3}.
    Logo,
f_{xy}(x,y) =\frac{\partial}{\partial y}\bigl(y\cos(x)+16x^{3}y\bigr) =\cos(x)+16x^{3}.

Resposta

f_{xy}(x,y)=\cos(x)+16x^{3}.

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