Calcule as integrais em coordenadas cilindricas nos exercícios 1-6.
6. \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{1} \int_{-1 / 2}^{1 / 2}\left(r^{2} \operatorname{sen}^{2} \theta+z^{2}\right) d z r d r d \theta

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral em coordenadas cilíndricas
I = integral0^2piintegral0^1integral-1/2^1/2l(r^2sin^2theta + z^2r),dz,r,dr,dtheta
Aqui usamos o elemento de volume dV = r,dz,dr,dtheta e a região é dada por
thetain[0,2pi], rin[0,1] e zin[-tfrac12,tfrac12].

Passo 2

Integramos primeiro em z:
integral-1/2^1/2l(r^2sin^2theta + z^2r),dz = r^2sin^2thetaintegral-1/2^1/2dz ;+;integral-1/2^1/2z^2,dz
Como integral-1/2^1/2dz = 1 e
integral-1/2^1/2z^2,dz =[z^33]-1/2^1/2 =1/83--1/83 =112,
obtemos
integral-1/2^1/2l(r^2sin^2theta + z^2r),dz = r^2sin^2theta + 112

Passo 3

Substituindo no integral original e levando em conta o r do elemento de volume:
I = integral0^2piintegral0^1l(r^2sin^2theta + tfrac112r),r,dr,dtheta =integral0^2piintegral0^1l(r^3sin^2theta + tfrac112rr),dr,dtheta
Agora calculamos a integral em r:
integral0^1r^3,dr = 14, integral0^1r,dr = 12
Logo
integral0^1l(r^3sin^2theta + tfrac112rr),dr = sin^2thetacdot14 ;+;112cdot12 = sin^2theta4 + 124

Passo 4

Falta só integrar em theta:
I = integral0^2pil(sin^2theta4 + 124r),dtheta = 14integral0^2pisin^2theta,dtheta + 124integral0^2pidtheta
Sabemos que integral0^2pisin^2theta,dtheta = pi e integral0^2pidtheta = 2pi. Portanto,
I = 14,pi + 124,2pi = pi4 + pi12 = 3pi + pi12 = pi3

Resposta

boxedpi3

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