Calcule as integrais em coordenadas cilindricas nos exercícios 1-6.
6. \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{1} \int_{-1 / 2}^{1 / 2}\left(r^{2} \operatorname{sen}^{2} \theta+z^{2}\right) d z r d r d \theta
6. \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{1} \int_{-1 / 2}^{1 / 2}\left(r^{2} \operatorname{sen}^{2} \theta+z^{2}\right) d z r d r d \theta
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral em coordenadas cilíndricas
Aqui usamos o elemento de volume
e a região é dada por
,
e
.
Passo 2
Integramos primeiro em
:
Como
e
obtemos
Passo 3
Substituindo no integral original e levando em conta o
do elemento de volume:
Agora calculamos a integral em
:
Logo
Passo 4
Falta só integrar em
:
Sabemos que
e
. Portanto,