Calcule as integrais em coordenadas cilindricas nos exercícios 1-6.
5. \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{1} \int_{r}^{1 / \sqrt{2-r^{2}}} 3 d z r d r d \theta

Passo 1

O enunciado pede a integral
integral0^2piintegral0^1integralz=r^z=1/raiz2-r^23,dz;r,dr,dtheta
em coordenadas cilíndricas. Aqui o fator r vem do jacobiano. Vamos primeiro integrar em z, depois em r e por fim em theta.

Passo 2

Integramos em z mantendo r fixo:
integralz=r^1/raiz2-r^23,dz =3l(1raiz2-r^2-rr)
Então a integral fica
integral0^2piintegral0^13l(1raiz2-r^2-rr),r,dr,dtheta

Passo 3

Desdobramos a parte em r:
integral0^13rl(1raiz2-r^2-rr),dr =integral0^13rraiz2-r^2,dr -integral0^13r^2,dr
Chamemos
I1=integral0^13rraiz2-r^2,dr, I2=integral0^13r^2,dr

Passo 4

Para I1, faça u=2-r^2, du=-2r,dr:
I1 =integralu=2^1-32,u^-1/2,du =-32l[2u^1/2r]2^1 =-3l(raiz1-raiz2r) =3(raiz2-1)

Passo 5

Para I2:
I2=integral0^13r^2,dr =3cdot13 =1

Passo 6

Logo a parte radial é
I1-I2 =3(raiz2-1)-1 =3raiz2-4
Restando a integração em theta:
integral0^2pi(3raiz2-4),dtheta =2pi,(3raiz2-4) =6piraiz2-8pi

Resposta

6piraiz2-8pi

Exercícios relacionados