Calcule as integrais em coordenadas cilindricas nos exercícios 1-6.
5. \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{1} \int_{r}^{1 / \sqrt{2-r^{2}}} 3 d z r d r d \theta
5. \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{1} \int_{r}^{1 / \sqrt{2-r^{2}}} 3 d z r d r d \theta
Passo 1
O enunciado pede a integral
em coordenadas cilíndricas. Aqui o fator
vem do jacobiano. Vamos primeiro integrar em
, depois em
e por fim em
.
Passo 2
Integramos em
mantendo
fixo:
Então a integral fica
Passo 3
Desdobramos a parte em
:
Chamemos
Passo 4
Para
, faça
,
:
Passo 5
Para
:
Passo 6
Logo a parte radial é
Restando a integração em
: