Calcule as integrais em coordenadas cilindricas nos exercícios 1-6.
  1. \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{1} \int_{r}{\sqrt{2-r{2}}} d z r d r d \theta

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla em coordenadas cilíndricas
integral0^2piintegral0^1integralr^raiz2-r^2 dz;r,dr,dtheta
Aqui o diferencial de volume em coordenadas cilíndricas é dV = r,dz,dr,dtheta. Vamos integrar sucessivamente em z, depois em r e por fim em theta.

Passo 2

Primeiro integramos em z, mantendo r fixo:
integralz=r^z=raiz2-r^2 dz;r = rl[raiz2-r^2 - rr]
Logo a integral reduz-se a
integral0^2piintegral0^1 l(rraiz2-r^2 - r^2r),dr,dtheta

Passo 3

Agora integramos em r. Separemos em duas integrais:
integral0^1 rraiz2-r^2,dr e integral0^1 r^2,dr
Para a primeira, use u=2-r^2, du=-2r,dr:
integral0^1 rraiz2-r^2,dr = -12integralu=2^u=1 u^1/2,du = -12cdot23l[u^3/2r]2^1 = 13l(2raiz2-1r)
Para a segunda:
integral0^1 r^2,dr = 13
Assim,
integral0^1 l(rraiz2-r^2 - r^2r),dr = 13(2raiz2-1) - 13 = 2(raiz2-1)3

Passo 4

Finalmente, integramos em theta:
integral0^2pi 2(raiz2-1)3,dtheta = 2(raiz2-1)3cdot 2pi = 4pi(raiz2-1)3

Resposta

4pi(raiz2-1)3

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