Calcule as integrais em coordenadas cilindricas nos exercícios 1-6.
3. \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{\theta / 2 \pi} \int_{0}^{3+24 r^{2}} d z r d r d \theta

Passo 1

O enunciado nos dá a integral tripla em coordenadas cilíndricas
integraltheta=0^2piintegralr=0^theta/(2pi)integralz=0^3+24r^2dz;r,dr,dtheta
O que vamos fazer é integrar primeiro em z, depois em r e por fim em theta, usando as fórmulas básicas de integrais de polinômios.

Passo 2

Integramos em z, lembrando que r é constante nesse passo:
integral0^3+24r^2dz = l[zr]0^3+24r^2 = 3 + 24r^2
Logo a integral vira
integral0^2piintegral0^theta/(2pi)l(3+24r^2r),r,dr,dtheta

Passo 3

Agora calculamos a integral em r:
integral0^theta/(2pi)l(3r + 24r^3r),dr = [32r^2 + 6r^4]0^theta/(2pi) = 32l(theta2pir)^2 + 6l(theta2pir)^4
Assim a integral reduz-se a
integral0^2pi!l(32theta^24pi^2 + 6theta^416pi^4r),dtheta = integral0^2pi!l(3theta^28pi^2 + 3theta^48pi^4r),dtheta

Passo 4

Integramos em theta termo a termo:
integral0^2pi3theta^28pi^2,dtheta = 38pi^2cdot(2pi)^33 = pi,
integral0^2pi3theta^48pi^4,dtheta = 38pi^4cdot(2pi)^55 = 12pi5
Somando os dois resultados, obtemos
pi + 12pi5 = 17pi5

Resposta

17pi5

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