Calcule as integrais em coordenadas cilindricas nos exercicios 1-6.
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral tripla em coordenadas cilíndricas do integrando
no domínio
Vamos usar o jacobiano
, a linearidade da integral para separar a soma no integrando e o resultado clássico
.
Passo 2
Escrevemos a integral incluindo o fator
do jacobiano e expandimos a soma:
Separando em duas parcelas:
[
I = \int_{0}{2\pi}\int_{0}{1}\int_{-1/2}{1/2}r3\sin^2\theta,dz,dr,d\theta
I = \int_{0}{2\pi}\int_{0}{1}\int_{-1/2}{1/2}r3\sin^2\theta,dz,dr,d\theta
- \int_{0}{2\pi}\int_{0}{1}\int_{-1/2}{1/2}z2,r,dz,dr,d\theta.
Passo 3
Na primeira parte, como
não depende de
, separamos as integrais:
Logo,
Passo 4
Na segunda parte,
não depende de
nem de
, então:
Portanto,
Passo 5
Somando as duas parcelas, obtemos: