Calcule as integrais em coordenadas cilindricas nos exercicios 1-6.
integral0^2 pi integral0^1 integral-1 / 2^1 / 2(r^2 sen^2 theta+z^2) d z r d r d theta

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral tripla em coordenadas cilíndricas do integrando r^2sin^2theta + z^2 no domínio
0 <= r <= 1, 0 <= theta <= 2pi, -tfrac12 <= z <= tfrac12
Vamos usar o jacobiano r, a linearidade da integral para separar a soma no integrando e o resultado clássico
integral0^2pisin^2theta,dtheta=pi.

Passo 2

Escrevemos a integral incluindo o fator r do jacobiano e expandimos a soma:
I = integral0^2piintegral0^1integral-1/2^1/2(r^2sin^2theta + z^2),dz,r,dr,dtheta
Separando em duas parcelas:
[
I = \int_{0}{2\pi}\int_{0}{1}\int_{-1/2}{1/2}r3\sin^2\theta,dz,dr,d\theta
  • \int_{0}{2\pi}\int_{0}{1}\int_{-1/2}{1/2}z2,r,dz,dr,d\theta.

Passo 3

Na primeira parte, como r^3sin^2theta não depende de z, separamos as integrais:
integral-1/2^1/2dz = 1, integral0^1r^3,dr = l[tfracr^44r]0^1 = tfrac14, integral0^2pisin^2theta,dtheta = pi
Logo,
I1 = pi times tfrac14 times 1 = tfracpi4

Passo 4

Na segunda parte, z^2 não depende de r nem de theta, então:
integral0^2pidtheta = 2pi, integral0^1r,dr = tfrac12, integral-1/2^1/2z^2,dz = 2integral0^1/2z^2,dz = 2l[tfracz^33r]0^1/2 = tfrac112
Portanto,
I2 = 2pi times tfrac12 times tfrac112 = tfracpi12

Passo 5

Somando as duas parcelas, obtemos:
I = I1 + I2 = tfracpi4 + tfracpi12 = tfrac3pi + pi12 = tfrac4pi12 = tfracpi3

Resposta

tfracpi3

Exercícios relacionados