Seja f uma função diferenciável em R com f(2)=9, f^prime(2)=-165, f(4)=3 e f^prime(4)=8.
Seja y=g(x)=f(x)+3 x. A partir destas informações, pode-se afirmar que
Observação: nas opções abaixo estamos denotando h=g^-1. Assim, por exemplo, h^prime(y)=(g^-1)^prime(y).
y=g(x) possui inversa local x=h(y) em uma vizinhança de x=2 e h^prime(15)=-1 / 5.

Passo 1

O enunciado nos dá uma função diferenciável f com f(2)=9, f'(2)=-tfrac165, define-se g(x)=f(x)+3x e pede-se verificar se há inversa local perto de x=2 e se h'(15)=-tfrac15, onde h=g^-1. Para isso, vamos usar o teste de invertibilidade local (derivada não nula) e a fórmula da derivada da inversa.

Passo 2

Calculamos a derivada de g. Como g(x)=f(x)+3x, vale a regra da soma de derivadas: g'(x)=f'(x)+3

Passo 3

Agora avaliamos em x=2:
g'(2)=f'(2)+3=-tfrac165+3=-tfrac165+tfrac155=-tfrac15

Passo 4

Como g'(2)neq0, pelo Teorema da Função Inversa existe inversa local h(y) em torno de y=g(2)=9+6=15.

Passo 5

Para a derivada da inversa usamos h'(y)=1/g'(h(y)). Como h(15)=2, temos
h'(15)=1g'(2)=1-tfrac15=-5

Passo 6

Portanto, a afirmação de que h'(15)=-tfrac15 está incorreta; o valor correto é -5.

Resposta

A afirmação é falsa; o valor correto é h'(15)=-5.

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