Seja
uma função diferenciável em
com
.
Seja
. A partir destas informações, pode-se afirmar que
Observação: nas opções abaixo estamos denotando
. Assim, por exemplo,
.
possui inversa local
em uma vizinhança de
e
.
Seja
Observação: nas opções abaixo estamos denotando
Passo 1
O enunciado nos dá uma função diferenciável
com
,
, define-se
e pede-se verificar se há inversa local perto de
e se
, onde
. Para isso, vamos usar o teste de invertibilidade local (derivada não nula) e a fórmula da derivada da inversa.
Passo 2
Calculamos a derivada de
. Como
, vale a regra da soma de derivadas:
Passo 3
Agora avaliamos em
:
Passo 4
Como
, pelo Teorema da Função Inversa existe inversa local
em torno de
.
Passo 5
Para a derivada da inversa usamos
. Como
, temos
Passo 6
Portanto, a afirmação de que
está incorreta; o valor correto é
.
Resposta
A afirmação é falsa; o valor correto é
.