Seja f uma função diferenciável em R com f(2)=9, f^prime(2)=-165, f(4)=3 e f^prime(4)=8.
Seja y=g(x)=f(x)+3 x. A partir destas informações, pode-se afirmar que
Observação: nas opções abaixo estamos denotando h=g^-1. Assim, por exemplo, h^prime(y)=(g^-1)^prime(y).
g não possui inversa local em uma vizinhança de x=2

Passo 1

O enunciado dá uma função diferenciável f:RtoR com f(2)=9, f'(2)=-tfrac165, f(4)=3 e f'(4)=8, e define g(x)=f(x)+3x. Vamos usar o Teorema da Função Inversa para verificar a existência de inversa local.

Passo 2

Calculamos a derivada de g:
g'(x)=f'(x)+3

Passo 3

Em particular, em x=2 temos
g'(2)=f'(2)+3=-tfrac165+3=-tfrac165+tfrac155=-tfrac15neq0

Passo 4

Pelo Teorema da Função Inversa, se g'(a)neq0 então g possui inversa local numa vizinhança de x=a. Como g'(2)neq0, concluímos que g possui inversa local em torno de x=2, logo a afirmação dada é falsa.

Resposta

A afirmação é falsa: como g'(2)=-tfrac15neq0, pelo Teorema da Função Inversa g possui inversa local perto de x=2.

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