As integrais que vimos até agora sugerem que existem ordens preferenciais de integração para coordenadas cilíndricas, mas outras ordens em geral funcionam bem e são ocasionalmente mais fáceis de calcular. Calcule as integrais nos exercícios 7-10.
integral0^2 pi integral0^3 integral0^2 / 3 r^3 d r d z d theta

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral iterada em coordenadas cilíndricas
integral0^2piintegral0^3integral0^2/3 r^3,dr,dz,dtheta
Aqui o conteúdo é a integração iterada: vamos integrar primeiro em r, depois em z e por fim em theta.

Passo 2

Primeiro, integramos em r:
integral0^2/3 r^3,dr = [r^44]0^2/3 = (2/3)^44 = 16/814 = 481

Passo 3

Em seguida, usamos o resultado constante para integrar em z:
integral0^3 481,dz = 481 cdot 3 = 1281 = 427

Passo 4

Por fim, integramos em theta:
integral0^2pi 427,dtheta = 427 cdot 2pi = 8pi27

Resposta

8pi27

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