Calcule as integrais curvilineas
integralC e^y d x+(x e^y+e^z) d y+(y e^z-2 e^-2 z) d z
sendo C o segmento de reta que une os pontos A(-1,0,0) ate B(1,1,1).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha\n\n\n\n\nsendo C o segmento de reta de A(-1,0,0) a B(1,1,1). O conteúdo é verificar se o campo vetorial F=(P,Q,R) é conservativo, encontrar uma função potencial f tal que ∇f=F e usar f(B)−f(A).

Passo 2

Para checar se F é conservativo calculamos as derivadas mistas: \n\n∂P/∂y = ∂(e^{y})/∂y = e^{y},
∂Q/∂x = ∂(x e^{y} + e^{z})/∂x = e^{y};
\n∂P/∂z = 0,
∂R/∂x = ∂(y e^{z} - 2 e^{-2 z})/∂x = 0;\n\n∂Q/∂z = e^{z},
∂R/∂y = e^{z}.\n\nComo todas coincidem, F é conservativo.

Passo 3

Para achar o potencial f(x,y,z): integramos primeiro \n\n[P = ∂f/∂x = e^{y}]\n\npara x:
f(x,y,z) = x e^y + g(y,z)
Depois ajustamos g(y,z) usando Q: \n\n[Q = ∂f/∂y = x e^{y} + ∂g/∂y = x e^{y} + e^{z}]\n\nlogo ∂g/∂y = e^{z}, integrando em y:
g(y,z) = y e^z + h(z)
Por fim ajustamos h(z) via R: \n\n[R = ∂f/∂z = y e^{z} + h’(z) = y e^{z} - 2 e^{-2 z}]\n\nde onde h’(z) = -2 e^{-2 z} ⇒ h(z)=e^{-2 z}.\n\nAssim
f(x,y,z) = x e^y + y e^z + e^-2 z

Resposta

2e + e^{-2}

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