Calcule as integrais curvilineas
sendo
o segmento de reta que une os pontos
ate
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha\n\n\n\n\nsendo C o segmento de reta de A(-1,0,0) a B(1,1,1). O conteúdo é verificar se o campo vetorial F=(P,Q,R) é conservativo, encontrar uma função potencial f tal que ∇f=F e usar f(B)−f(A).
Passo 2
Para checar se F é conservativo calculamos as derivadas mistas: \n\n∂P/∂y = ∂(e^{y})/∂y = e^{y},
∂Q/∂x = ∂(x e^{y} + e^{z})/∂x = e^{y};
\n∂P/∂z = 0,
∂R/∂x = ∂(y e^{z} - 2 e^{-2 z})/∂x = 0;\n\n∂Q/∂z = e^{z},
∂R/∂y = e^{z}.\n\nComo todas coincidem, F é conservativo.
∂Q/∂x = ∂(x e^{y} + e^{z})/∂x = e^{y};
\n∂P/∂z = 0,
∂R/∂x = ∂(y e^{z} - 2 e^{-2 z})/∂x = 0;\n\n∂Q/∂z = e^{z},
∂R/∂y = e^{z}.\n\nComo todas coincidem, F é conservativo.
Passo 3
Para achar o potencial f(x,y,z): integramos primeiro \n\n[P = ∂f/∂x = e^{y}]\n\npara x:
Depois ajustamos g(y,z) usando Q: \n\n[Q = ∂f/∂y = x e^{y} + ∂g/∂y = x e^{y} + e^{z}]\n\nlogo ∂g/∂y = e^{z}, integrando em y:
Por fim ajustamos h(z) via R: \n\n[R = ∂f/∂z = y e^{z} + h’(z) = y e^{z} - 2 e^{-2 z}]\n\nde onde h’(z) = -2 e^{-2 z} ⇒ h(z)=e^{-2 z}.\n\nAssim
Resposta
2e + e^{-2}