Encontre o intervalo de convergência das seguintes séries de potência:
17) sumk=1^infty (2 k+1)!2 k! x^2 k

Passo 1

O enunciado pede o intervalo de convergência da série de potência sumk=1^infty (2k+1)!(2k)!,x^2k. O conteúdo é séries de potências e vamos precisar usar o teste da razão e depois checar os extremos.

Passo 2

Primeiro note que
(2k+1)!(2k)!=2k+1
Então a série vira
sumk=1^infty(2k+1)x^2k
Podemos escrever isso como uma série em u=x^2:
sumk=1^infty(2k+1)u^k

Passo 3

Agora aplicamos o teste da razão na série em u. Seja ak=(2k+1). Então
limktoinfty|ak+1u^k+1ak u^k| =limktoinfty(2k+3),|u|,/,(2k+1) =|u|cdotlimktoinfty2k+32k+1=|u|
Para convergir, precisamos de |u|<1, ou seja |x^2|<1.

Passo 4

Isso dá o raio de convergência em x:
|x|<1

Passo 5

Agora testamos os extremos x=1 e x=-1. Em ambos, u=1 e os termos da série são 2k+1, então a soma sum(2k+1) diverge por denúncia (os termos não vão a zero).

Passo 6

Logo, o intervalo de convergência é
(-1,1)

Resposta

(-1,1)

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