Encontre o intervalo de convergência das seguintes séries de potência:
17)
Passo 1
O enunciado pede o intervalo de convergência da série de potência . O conteúdo é séries de potências e vamos precisar usar o teste da razão e depois checar os extremos.
Passo 2
Primeiro note que
Então a série vira
Podemos escrever isso como uma série em :
Passo 3
Agora aplicamos o teste da razão na série em . Seja . Então
Para convergir, precisamos de |u|<1, ou seja |x^2|<1.
Passo 4
Isso dá o raio de convergência em x:
|x|<1
Passo 5
Agora testamos os extremos x=1 e x=-1. Em ambos, u=1 e os termos da série são 2k+1, então a soma sum(2k+1) diverge por denúncia (os termos não vão a zero).