Exercs. 39-40: Use coordenadas cilíndricas para calcular a integral.
Passo 1
Então, galera, vamos resolver esse exercício de cálculo que pede para a gente calcular uma integral tripla usando coordenadas cilíndricas. O enunciado é o seguinte:
Vamos precisar entender coordenadas cilíndricas e como transformar essa integral para facilitar a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que nas coordenadas cartesianas temos $ x $, $ y $ e $ z $, mas nas coordenadas cilíndricas usamos $ r $ (a distância do ponto à origem no plano $ xy $), $ \theta $ (o ângulo em relação ao eixo $ x $) e $ z $.
A conversão fica assim:
E o volume elementar $ dV $ em coordenadas cilíndricas é:
Passo 3
Vamos analisar os limites de integração. Observando os limites de $ y $:
Isso sugere que estamos lidando com um círculo no plano $ xy $. Reescrevendo:
Isso representa um círculo de raio 1 centrado em $ (1, 0) $.
Passo 4
Vamos converter esses limites para coordenadas cilíndricas. O raio $ r $ varia de 0 a 1 (o raio do círculo), e o ângulo $ \theta $ vai de $ -\frac{\pi}{2} $ a $ \frac{\pi}{2} $ para cobrir todo o círculo centrado em $ (1, 0) $.
O limite superior de $ z $ é $ x^{2} + y^{2} $. Em coordenadas cilíndricas, isso fica:
Passo 5
Agora, reescrevemos a integral original em coordenadas cilíndricas:
Aqui, $ \sqrt{x^{2} + y^{2}} $ vira $ r $ e multiplicamos pelo Jacobiano $ r $.
Passo 6
Vamos calcular a integral interna em $ z $:
Passo 7
Agora, integraremos em $ \theta $:
Passo 8
Por último, integramos em $ r $:
Resposta
O valor da integral é $ \frac{\pi}{5} $.