Exercs. 39-40: Use coordenadas cilíndricas para calcular a integral.
integral0^2 integral-raiz2 x-x^2^raiz2 x-x^2 integral0^x^2+y^2 raizx^2+y^2 d z d y d x

Passo 1

Então, galera, vamos resolver esse exercício de cálculo que pede para a gente calcular uma integral tripla usando coordenadas cilíndricas. O enunciado é o seguinte:
integral0^2 integral-raiz2 x - x^2^raiz2 x - x^2 integral0^x^2 + y^2 raizx^2 + y^2 , dz , dy , dx
Vamos precisar entender coordenadas cilíndricas e como transformar essa integral para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que nas coordenadas cartesianas temos $ x $, $ y $ e $ z $, mas nas coordenadas cilíndricas usamos $ r $ (a distância do ponto à origem no plano $ xy $), $ \theta $ (o ângulo em relação ao eixo $ x $) e $ z $.
A conversão fica assim:
x
E o volume elementar $ dV $ em coordenadas cilíndricas é:
y

Passo 3

Vamos analisar os limites de integração. Observando os limites de $ y $:
y
Isso sugere que estamos lidando com um círculo no plano $ xy $. Reescrevendo:
-raiz2x - x^2 <= y <= raiz2x - x^2
Isso representa um círculo de raio 1 centrado em $ (1, 0) $.

Passo 4

Vamos converter esses limites para coordenadas cilíndricas. O raio $ r $ varia de 0 a 1 (o raio do círculo), e o ângulo $ \theta $ vai de $ -\frac{\pi}{2} $ a $ \frac{\pi}{2} $ para cobrir todo o círculo centrado em $ (1, 0) $.
O limite superior de $ z $ é $ x^{2} + y^{2} $. Em coordenadas cilíndricas, isso fica:
r

Passo 5

Agora, reescrevemos a integral original em coordenadas cilíndricas:
integral0^2 integral-raiz2x - x^2^raiz2x - x^2 integral0^x^2 + y^2 raizx^2 + y^2 , dz , dy , dx = integral0^1 integral-pi2^pi2 integral0^r^2 r cdot r , dz , dtheta , dr
Aqui, $ \sqrt{x^{2} + y^{2}} $ vira $ r $ e multiplicamos pelo Jacobiano $ r $.

Passo 6

Vamos calcular a integral interna em $ z $:
z

Passo 7

Agora, integraremos em $ \theta $:
theta

Passo 8

Por último, integramos em $ r $:
r

Resposta

O valor da integral é $ \frac{\pi}{5} $.

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