Calcule as integrais dadas a seguir.
integral 4+u^2u d u

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral que é integral 4 + u^2u , du. Aqui estamos lidando com cálculo integral, especificamente integrando uma função racional. Para isso, vamos precisar saber como dividir a fração e usar as regras básicas de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. A fração 4 + u^2u pode ser dividida em duas partes: 4u e u^2u. Isso fica assim:
4 + u^2u = 4u + u^2u = 4u^-1 + u
Isso facilita a integração, pois agora temos duas funções mais simples para integrar separadamente.

Passo 3

Agora, vamos integrar cada termo separadamente. A regra básica de integração que vamos usar aqui é:
integral u^n , du = u^n+1n+1 + C
onde n neq -1 e C é a constante de integração.

Passo 4

Primeiro, vamos integrar 4u^-1:
integral 4u^-1 , du = 4 integral u^-1 , du = 4 ln|u| + C
Lembrando que a integral de u^-1 é o logaritmo natural de u.

Passo 5

Em seguida, vamos integrar u:
integral u , du = u^22 + C
Aqui aplicamos a regra de aumentar o expoente em 1 e dividir pelo novo expoente.

Passo 6

Agora, juntamos as integrais que calculamos:
4 ln|u| + u^22 + C
Onde C é a constante de integração que sempre adicionamos no final.

Resposta

A integral é:
4 ln|u| + u^22 + C

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