Suponha que f e g sejam integráveis e que integral1^2 f(x) d x=-4, integral1^5 f(x) d x=6 e integral1^5 g(x) d x=8. Determine:
integral1^5[3 f(x)+2 g(x)] d x

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos duas funções, $ f $ e $ g $, que são integráveis. Sabemos os valores de algumas integrais definidas dessas funções em determinados intervalos. Nosso objetivo é encontrar o valor de $ \int_{1}^{5} [3f(x) + 2g(x)] , dx $. Para isso, vamos usar propriedades de integrais e as informações fornecidas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a integral de uma soma de funções é igual à soma das integrais das funções. Além disso, constantes multiplicativas podem ser fatoradas para fora da integral. Então, aplicando a propriedade da linearidade, temos:
integral1^5 [3f(x) + 2g(x)] , dx = 3 integral1^5 f(x) , dx + 2 integral1^5 g(x) , dx

Passo 3

Agora, vamos usar as informações fornecidas no enunciado. Sabemos que:
integral1^5 f(x) , dx = 6 e integral1^5 g(x) , dx = 8
Substituindo esses valores na equação que montamos:
3 times 6 + 2 times 8

Passo 4

Vamos fazer as multiplicações:
3 times 6 = 18
2 times 8 = 16

Passo 5

Por fim, somamos os resultados das multiplicações:
18 + 16 = 34

Resposta

integral1^5 [3f(x) + 2g(x)] , dx = 34

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