Calcule as integrais dadas, transformando-as primeiro em coordenadas polares.
\int_{0}^{1} \int_{0}^{\sqrt{1-y^{2}}} \frac{1}{1+x^{2}+y^{2}} d x d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\int_{0}^{1} \int_{0}^{\sqrt{1-y^{2}}} \frac{1}{1+x^{2}+y^{2}}\, dx\, dy.
Informações dadas:
\,0\le y\le 1, \,0\le x\le \sqrt{1-y^{2}} e o integrando é \dfrac{1}{1+x^{2}+y^{2}}.
O pedido explícito é: transformar a integral para coordenadas polares e calcular o valor da integral.

Passo 2

Identificação da região de integração em coordenadas cartesianas. A condição \,0\le x\le \sqrt{1-y^{2}} implica \,x^{2}\le 1-y^{2}, isto é
x^{2}+y^{2}\le 1.
Juntando com 0\le x e 0\le y, a região é o quarto do disco de raio 1 no primeiro quadrante:
\{(x,y)\mid x\ge 0,\; y\ge 0,\; x^{2}+y^{2}\le 1\}.

Passo 3

Mudança para coordenadas polares. Lembrando as fórmulas de transformação:
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,
onde r\ge 0 é a distância à origem e \theta é o ângulo medido a partir do eixo x.
Para o quarto de disco no primeiro quadrante temos os limites
0\le r\le 1,\qquad 0\le \theta\le \frac{\pi}{2}.
Expliquei: r vai de 0 até o raio do disco (que é 1) e \theta varre do eixo positivo x até o eixo positivo y, ou seja 0 a \pi/2.

Passo 4

Elemento de área (Jacobiano). Ao passar de (x,y) para (r,\theta) temos
dx\,dy = r\,dr\,d\theta.
Justificativa curta: o determinante da matriz jacobiana de (x,y) em função de (r,\theta) é r; intuitivamente a circunferência elementar tem comprimento r\,d\theta, daí o fator r.

Passo 5

Substituição do integrando. Observando que
1+x^{2}+y^{2} = 1 + r^{2},
o integrando fica \dfrac{1}{1+r^{2}} e, multiplicando pelo jacobiano, a integranda em polares é
\frac{r}{1+r^{2}}.
Portanto a integral transformada é
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \int_{0}^{1} \frac{r}{1+r^{2}}\, dr\, d\theta.

Passo 6

Cálculo da integral interna em r:
Calculemos
\int_{0}^{1} \frac{r}{1+r^{2}}\, dr.
Use a substituição u=1+r^{2}. Então du=2r\,dr, ou seja r\,dr=\dfrac{1}{2}du. Quando r=0 tem u=1 e quando r=1 tem u=2. Assim
\int_{0}^{1} \frac{r}{1+r^{2}}\, dr = \frac{1}{2}\int_{1}^{2} \frac{1}{u}\, du = \frac{1}{2}\bigl[\ln u\bigr]_{1}^{2} = \frac{1}{2}\ln 2.
Expliquei o passo da substituição e a avaliação do logaritmo.

Passo 7

Agora integramos em \theta. A integral completa vale
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \left(\frac{1}{2}\ln 2\right)\, d\theta = \frac{1}{2}\ln 2 \cdot \left[\theta\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{1}{2}\ln 2 \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{4}\ln 2.
Portanto o valor final da integral é \dfrac{\pi}{4}\ln 2.

Resposta

\dfrac{\pi}{4}\ln 2

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