Calcule as integrais dadas, transformando-as primeiro em coordenadas polares.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
Informações dadas:
,
e o integrando é
.
O pedido explícito é: transformar a integral para coordenadas polares e calcular o valor da integral.
O pedido explícito é: transformar a integral para coordenadas polares e calcular o valor da integral.
Passo 2
Identificação da região de integração em coordenadas cartesianas. A condição
implica
, isto é
Juntando com
e
, a região é o quarto do disco de raio
no primeiro quadrante:
Passo 3
Mudança para coordenadas polares. Lembrando as fórmulas de transformação:
onde
é a distância à origem e
é o ângulo medido a partir do eixo
.
Para o quarto de disco no primeiro quadrante temos os limites
Para o quarto de disco no primeiro quadrante temos os limites
Expliquei:
vai de
até o raio do disco (que é
) e
varre do eixo positivo
até o eixo positivo
, ou seja
a
.
Passo 4
Elemento de área (Jacobiano). Ao passar de
para
temos
Justificativa curta: o determinante da matriz jacobiana de
em função de
é
; intuitivamente a circunferência elementar tem comprimento
, daí o fator
.
Passo 5
Substituição do integrando. Observando que
o integrando fica
e, multiplicando pelo jacobiano, a integranda em polares é
Portanto a integral transformada é
Passo 6
Cálculo da integral interna em
:
Calculemos
Calculemos
Use a substituição
. Então
, ou seja
. Quando
tem
e quando
tem
. Assim
Expliquei o passo da substituição e a avaliação do logaritmo.
Passo 7
Agora integramos em
. A integral completa vale
Portanto o valor final da integral é
.