Calcule as integrais dadas, transformando-as primeiro em coordenadas polares.
\int_{0}^{1} \int_{0}^{\sqrt{1-y^{2}}} \sin \left(x^{2}+y^{2}\right) d x d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{0}^{1} \int_{0}^{\sqrt{1-y^{2}}} \sin\left(x^{2}+y^{2}\right)\,dx\,dy.
Informações dadas:
  • A variável interna é x com 0 \le x \le \sqrt{1-y^{2}}.
  • A variável externa é y com 0 \le y \le 1.
  • A função a integrar é \sin\!\left(x^{2}+y^{2}\right).
    A tarefa é transformar a integral para coordenadas polares e calcular o valor.

Passo 2

Entender a região de integração no plano xy. A condição 0 \le x \le \sqrt{1-y^{2}} é equivalente (elevar ao quadrado) a
x^{2} \le 1 - y^{2}\quad\Longleftrightarrow\quad x^{2}+y^{2} \le 1,
com a restrição x\ge 0 (pois o limite inferior é 0) e 0\le y\le 1. Logo a região é o quarto do disco de raio 1 no primeiro quadrante:
R=\{(x,y)\mid 0\le r\le 1,\;0\le \theta\le \tfrac{\pi}{2}\}
(em coordenadas polares, explicarei por que esses limites no próximo passo).

Passo 3

Converter para coordenadas polares. As fórmulas de conversão são
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,
onde r\ge 0 é a distância ao origem e \theta é o ângulo medido a partir do eixo x positivo. Para a região descrita (primeiro quadrante e r\le 1) temos os limites
0 \le r \le 1,\qquad 0 \le \theta \le \tfrac{\pi}{2}.
Explicação rápida do porquê: o círculo x^{2}+y^{2}=1 vira r^{2}=1 ou r=1; as restrições x\ge 0,\;y\ge 0 correspondem a \theta entre 0 e \tfrac{\pi}{2}.

Passo 4

Explicar o fator de conversão do elemento de área. Em coordenadas cartesianas o elemento é dx\,dy. Em polares o elemento de área é
dx\,dy = r\,dr\,d\theta.
Breve motivo: um pequeno retângulo em (r,\theta) tem área aproximada (dr)\times (r\,d\theta), daí o fator r. (Formalmente vem do determinante da jacobiana.)

Passo 5

Transformar o integrando. Observando que
x^{2}+y^{2}=r^{2},
temos
\sin\!\left(x^{2}+y^{2}\right)=\sin\!\left(r^{2}\right).
Portanto a integral dupla em polares fica
\int_{0}^{\tfrac{\pi}{2}} \int_{0}^{1} \sin\!\left(r^{2}\right)\; r\,dr\,d\theta.

Passo 6

Calcular a integral interna em r. Faça a substituição clássica u=r^{2}. Então
u=r^{2}\quad\Rightarrow\quad du=2r\,dr\quad\Rightarrow\quad r\,dr=\tfrac{1}{2}\,du.
Quando r=0 tem u=0; quando r=1 tem u=1. Assim
\int_{0}^{1} \sin\!\left(r^{2}\right)\,r\,dr = \tfrac{1}{2}\int_{0}^{1}\sin(u)\,du.
Essa integral é elementar:
\tfrac{1}{2}\int_{0}^{1}\sin(u)\,du = \tfrac{1}{2}\big[-\cos(u)\big]_{0}^{1} = \tfrac{1}{2}\big(1-\cos(1)\big).
(obs.: o número 1 está em radianos, como é padrão em cálculo.)

Passo 7

Agora integrar em \theta. A parte dependente de \theta é constante (já avaliada), então
\int_{0}^{\tfrac{\pi}{2}} \left[\tfrac{1}{2}\big(1-\cos(1)\big)\right] d\theta = \tfrac{1}{2}\big(1-\cos(1)\big)\cdot \left[\theta\right]_{0}^{\tfrac{\pi}{2}} = \tfrac{1}{2}\big(1-\cos(1)\big)\cdot \tfrac{\pi}{2}.
Simplificando:
\frac{\pi}{4}\big(1-\cos(1)\big).

Resposta

\displaystyle \frac{\pi}{4}\big(1-\cos(1)\big)

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