Calcule as integrais dadas, transformando-as primeiro em coordenadas polares.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
Informações dadas:
- A variável interna é
com . - A variável externa é
com . - A função a integrar é
.
A tarefa é transformar a integral para coordenadas polares e calcular o valor.
Passo 2
Entender a região de integração no plano
. A condição
é equivalente (elevar ao quadrado) a
com a restrição
(pois o limite inferior é
) e
. Logo a região é o quarto do disco de raio
no primeiro quadrante:
(em coordenadas polares, explicarei por que esses limites no próximo passo).
Passo 3
Converter para coordenadas polares. As fórmulas de conversão são
onde
é a distância ao origem e
é o ângulo medido a partir do eixo
positivo. Para a região descrita (primeiro quadrante e
) temos os limites
Explicação rápida do porquê: o círculo
vira
ou
; as restrições
correspondem a
entre
e
.
Passo 4
Explicar o fator de conversão do elemento de área. Em coordenadas cartesianas o elemento é
. Em polares o elemento de área é
Breve motivo: um pequeno retângulo em
tem área aproximada
, daí o fator
. (Formalmente vem do determinante da jacobiana.)
Passo 5
Transformar o integrando. Observando que
temos
Portanto a integral dupla em polares fica
Passo 6
Calcular a integral interna em
. Faça a substituição clássica
. Então
Quando
tem
; quando
tem
. Assim
Essa integral é elementar:
(obs.: o número
está em radianos, como é padrão em cálculo.)
Passo 7
Agora integrar em
. A parte dependente de
é constante (já avaliada), então
Simplificando: