Calcule a integral \iint_{D} \frac{(x+y)^{7}}{y-x} d x d y, usando uma mudança de variáveis conveniente, onde D é uma região limitada pelas retas y+x=3, y+x=4, y-x=1 e y-x=3.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{D} \frac{(x+y)^{7}}{y-x}\,dx\,dy
onde a região D é a região limitada pelas retas y+x=3, y+x=4, y-x=1 e y-x=3.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
A integranda é \dfrac{(x+y)^{7}}{y-x}.
As fronteiras de D são as quatro retas \;y+x=3,\;y+x=4,\;y-x=1,\;y-x=3.
O enunciado sugere usar uma mudança de variáveis conveniente (ou seja, uma substituição que torne a integral mais simples).
Passo 2
Identificação de uma mudança de variáveis conveniente (motivação didática): a integranda envolve x+y e y-x de forma explícita, e as retas que limitam D são precisamente níveis dessas combinações lineares. Isso sugere definir novas variáveis que sejam exatamente essas combinações. Assim, definimos:
u = x+y,\qquad v = y-x.
Explicando de forma bem concreta: u é a soma das coordenadas e v é a diferença (com sinal trocado para x). A ideia é que a expressão (x+y)^7/(y-x) se transforme em algo como u^7/v, e as fronteiras do domínio virem retas de constante em u ou v, tornando o domínio um retângulo no plano (u,v).
Passo 3
Invertendo a transformação e calculando o jacobiano (passo obrigatório para mudar de variáveis): a transformação é linear, então encontramos x e y em função de u e v. Soma e subtração dão:
Agora vamos ao jacobiano, que transforma a área dx\,dy em du\,dv. O jacobiano é o determinante da matriz de derivadas parciais de (x,y) em relação a (u,v):
Observação didática: o valor absoluto do determinante aparece porque a área deve ser positiva; aqui o determinante já deu +\tfrac{1}{2}.]
Passo 4
Mapeamento do domínio D para o plano (u,v): como definimos u=x+y e v=y-x, as retas que limitam D tornam-se retas de coordenadas constantes:
A reta y+x=3 vira u=3.
A reta y+x=4 vira u=4.
A reta y-x=1 vira v=1.
A reta y-x=3 vira v=3.
Portanto, no plano (u,v) o domínio D transforma-se no retângulo
R=\{(u,v)\mid 3\le u\le 4,\; 1\le v\le 3\}.
Isso é ótimo: limites constantes e independentes, muito mais simples de integrar.
Passo 5
Transformação da integral para as novas variáveis: substituímos a integranda e a área. A integranda \dfrac{(x+y)^{7}}{y-x} em termos de (u,v) fica \dfrac{u^{7}}{v}. E dx\,dy = \tfrac{1}{2}\,du\,dv. Assim a integral vira
Comentário encorajador: o cálculo ficou bastante direto depois da mudança u=x+y,\;v=y-x; sempre que a integranda e as fronteiras aparecem naturalmente nessas combinações lineares, essa é a mudança que costuma simplificar bastante.