Calcule a integral \iint_{D} \frac{(x+y)^{7}}{y-x} d x d y, usando uma mudança de variáveis conveniente, onde D é uma região limitada pelas retas y+x=3, y+x=4, y-x=1 e y-x=3.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{D} \frac{(x+y)^{7}}{y-x}\,dx\,dy
onde a região D é a região limitada pelas retas y+x=3, y+x=4, y-x=1 e y-x=3.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A integranda é \dfrac{(x+y)^{7}}{y-x}.
  • As fronteiras de D são as quatro retas \;y+x=3,\;y+x=4,\;y-x=1,\;y-x=3.
  • O enunciado sugere usar uma mudança de variáveis conveniente (ou seja, uma substituição que torne a integral mais simples).

Passo 2

Identificação de uma mudança de variáveis conveniente (motivação didática): a integranda envolve x+y e y-x de forma explícita, e as retas que limitam D são precisamente níveis dessas combinações lineares. Isso sugere definir novas variáveis que sejam exatamente essas combinações. Assim, definimos:
u = x+y,\qquad v = y-x.
Explicando de forma bem concreta: u é a soma das coordenadas e v é a diferença (com sinal trocado para x). A ideia é que a expressão (x+y)^7/(y-x) se transforme em algo como u^7/v, e as fronteiras do domínio virem retas de constante em u ou v, tornando o domínio um retângulo no plano (u,v).

Passo 3

Invertendo a transformação e calculando o jacobiano (passo obrigatório para mudar de variáveis): a transformação é linear, então encontramos x e y em função de u e v. Soma e subtração dão:
u+v = (x+y) + (y-x) = 2y \quad\Rightarrow\quad y=\frac{u+v}{2},
u-v = (x+y) - (y-x) = 2x \quad\Rightarrow\quad x=\frac{u-v}{2}.
Agora vamos ao jacobiano, que transforma a área dx\,dy em du\,dv. O jacobiano é o determinante da matriz de derivadas parciais de (x,y) em relação a (u,v):
\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} = \begin{pmatrix} \displaystyle \frac{\partial x}{\partial u} & \displaystyle \frac{\partial x}{\partial v} \\[6pt] \displaystyle \frac{\partial y}{\partial u} & \displaystyle \frac{\partial y}{\partial v} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\[6pt] \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}.
Calculamos o determinante explicitamente:
\det\begin{pmatrix}\tfrac{1}{2} & -\tfrac{1}{2}\\[4pt]\tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2}\end{pmatrix} = \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2} - \left(-\frac{1}{2}\right)\cdot\frac{1}{2} = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}.
Portanto, no processo de mudança de variáveis usamos
dx\,dy = \left|\det\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right|\, du\,dv = \frac{1}{2}\,du\,dv.
Observação didática: o valor absoluto do determinante aparece porque a área deve ser positiva; aqui o determinante já deu +\tfrac{1}{2}.]

Passo 4

Mapeamento do domínio D para o plano (u,v): como definimos u=x+y e v=y-x, as retas que limitam D tornam-se retas de coordenadas constantes:
  • A reta y+x=3 vira u=3.
  • A reta y+x=4 vira u=4.
  • A reta y-x=1 vira v=1.
  • A reta y-x=3 vira v=3.
Portanto, no plano (u,v) o domínio D transforma-se no retângulo
R=\{(u,v)\mid 3\le u\le 4,\; 1\le v\le 3\}.
Isso é ótimo: limites constantes e independentes, muito mais simples de integrar.

Passo 5

Transformação da integral para as novas variáveis: substituímos a integranda e a área. A integranda \dfrac{(x+y)^{7}}{y-x} em termos de (u,v) fica \dfrac{u^{7}}{v}. E dx\,dy = \tfrac{1}{2}\,du\,dv. Assim a integral vira
\iint_{D} \frac{(x+y)^{7}}{y-x}\,dx\,dy = \iint_{R} \frac{u^{7}}{v}\cdot\frac{1}{2}\,du\,dv.
Como R é o retângulo 3\le u\le 4,\;1\le v\le 3, escrevemos como iterada:
\iint_{R} \frac{u^{7}}{v}\cdot\frac{1}{2}\,du\,dv = \frac{1}{2}\int_{v=1}^{3}\int_{u=3}^{4} \frac{u^{7}}{v}\,du\,dv.

Passo 6

Separação das integrais e cálculo passo a passo: na expressão acima a função é produto de uma função só de u por uma função só de v, então separamos:
\frac{1}{2}\int_{v=1}^{3}\int_{u=3}^{4} \frac{u^{7}}{v}\,du\,dv = \frac{1}{2}\left(\int_{v=1}^{3}\frac{1}{v}\,dv\right)\left(\int_{u=3}^{4} u^{7}\,du\right).
Agora calculamos cada integral simples:
  1. Integral em v:
\int_{v=1}^{3}\frac{1}{v}\,dv = \left[\ln v\right]_{1}^{3} = \ln 3 - \ln 1 = \ln 3,
pois \ln 1 = 0. (Aqui usamos que \int \dfrac{1}{v}\,dv = \ln v + C.)
  1. Integral em u:
\int_{u=3}^{4} u^{7}\,du = \left[\frac{u^{8}}{8}\right]_{3}^{4} = \frac{4^{8}-3^{8}}{8}.
Vamos calcular 4^{8} e 3^{8} para ficar explícito:
4^{8} = 65536,\qquad 3^{8} = 6561,
portanto
\frac{4^{8}-3^{8}}{8} = \frac{65536-6561}{8} = \frac{58975}{8}.

Passo 7

Combinação final e simplificação: juntando os resultados das integrais com o fator \tfrac{1}{2},
\iint_{D} \frac{(x+y)^{7}}{y-x}\,dx\,dy = \frac{1}{2}\cdot (\ln 3)\cdot \frac{58975}{8} = \frac{58975}{16}\,\ln 3.
Comentário encorajador: o cálculo ficou bastante direto depois da mudança u=x+y,\;v=y-x; sempre que a integranda e as fronteiras aparecem naturalmente nessas combinações lineares, essa é a mudança que costuma simplificar bastante.

Resposta

\dfrac{58975}{16}\ln 3

Exercícios relacionados