Calcule as integrais dadas, transformando-as primeiro em coordenadas polares. \int_{1}^{2} \int_{0}^{\sqrt{2 x-x^{2}}} \frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} d y d x.
Conclusão: a curva é um círculo de centro (1,0) e raio 1.
O domínio é a parte desse círculo com x variando de 1 a 2 e com y\ge 0. Geometricamente, é o arco superior do círculo à direita da reta vertical x=1 — ou seja, um “gomo” que se estende da ponta em (1,0) até o ponto (2,0) e passando pelo ponto (1,1).
Passo 3
Passagem para coordenadas polares: fórmulas e explicação do jacobiano.
Em coordenadas polares usamos as transformações
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,
onde r\ge 0 é a distância ao origem e \theta é o ângulo medido a partir do eixo x positivo.
O elemento de área em polares é
dA = r\, dr\, d\theta.
Isto é, ao trocar de (x,y) para (r,\theta) precisamos multiplicar pelo fator r (o jacobiano).
A integranda \dfrac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} em polares fica
A condição y\ge 0 corresponde a \theta entre 0 e \pi, mas pela presença de x entre 1 e 2 precisamos de \cos\theta>0, então \theta fica em [0,\tfrac{\pi}{2}].
Para um \theta fixo, r varia entre a interseção com a reta x=1 (menor r) e a interseção com o círculo (maior r). Logo em princípio r vai de r=\operatorname{sec}\theta até r=2\cos\theta.
Porém é necessário que \operatorname{sec}\theta\le 2\cos\theta, isto é
Em [0,\tfrac{\pi}{2}] isso equivale a 0\le \theta\le \tfrac{\pi}{4}.
Portanto os limites polares do domínio são
0\le \theta\le \tfrac{\pi}{4},\qquad \operatorname{sec}\theta \le r \le 2\cos\theta.
(Verificação rápida: em \theta=0 temos r de 1 a 2, que corresponde ao segmento no eixo x de x=1 a x=2; em \theta=\tfrac{\pi}{4} temos r=\sqrt{2} tanto em \operatorname{sec}\theta quanto em 2\cos\theta, ponto de encontro (1,1).)
Passo 5
Escrever a integral em coordenadas polares e simplificar.
Substituindo na integral original e usando a simplificação da integranda, obtemos
\iint_{D}\frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\, dA = \int_{0}^{\tfrac{\pi}{4}} \int_{\operatorname{sec}\theta}^{\,2\cos\theta} 1\; dr\, d\theta.
Integrando em r primeiro:
\int_{\operatorname{sec}\theta}^{\,2\cos\theta} 1\; dr = \bigl[r\bigr]_{r=\operatorname{sec}\theta}^{r=2\cos\theta} = 2\cos\theta - \operatorname{sec}\theta.
Assim a integral reduz-se a uma integral simples em \theta: