Calcule as integrais dadas, transformando-as primeiro em coordenadas polares.
\int_{1}^{2} \int_{0}^{\sqrt{2 x-x^{2}}} \frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} d y d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{1}^{2} \int_{0}^{\sqrt{2 x-x^{2}}} \frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\, dy\, dx.
Informações dadas e o que precisamos identificar:
  • A função a ser integrada é \dfrac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}.
  • O domínio de integração é descrito por 1\le x\le 2 e 0\le y\le \sqrt{2x-x^{2}}.
  • O enunciado pede explicitamente que transformemos para coordenadas polares antes de integrar.
  • Nosso objetivo final é obter um valor numérico (ou expressão fechada) para a integral dupla sobre essa região.

Passo 2

Interpretação geométrica do domínio (importante para escolher os limites em coordenadas polares).
  • A curva y=\sqrt{2x-x^{2}} satisfaz
y^{2}=2x-x^{2}\quad\Longrightarrow\quad x^{2}+y^{2}=2x.
  • Fazendo completamento de quadrado:
x^{2}-2x+y^{2}=0\quad\Longrightarrow\quad (x-1)^{2}+y^{2}=1.
  • Conclusão: a curva é um círculo de centro (1,0) e raio 1.
  • O domínio é a parte desse círculo com x variando de 1 a 2 e com y\ge 0. Geometricamente, é o arco superior do círculo à direita da reta vertical x=1 — ou seja, um “gomo” que se estende da ponta em (1,0) até o ponto (2,0) e passando pelo ponto (1,1).

Passo 3

Passagem para coordenadas polares: fórmulas e explicação do jacobiano.
  • Em coordenadas polares usamos as transformações
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,
onde r\ge 0 é a distância ao origem e \theta é o ângulo medido a partir do eixo x positivo.
  • O elemento de área em polares é
dA = r\, dr\, d\theta.
Isto é, ao trocar de (x,y) para (r,\theta) precisamos multiplicar pelo fator r (o jacobiano).
  • A integranda \dfrac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} em polares fica
\frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}=\frac{1}{\sqrt{r^{2}}}=\frac{1}{r}\quad(\text{para }r>0).
  • Multiplicando pela área dA=r\,dr\,d\theta temos integrando
\frac{1}{r}\cdot r\, dr\, d\theta = 1\cdot dr\, d\theta.
Isso simplifica muito: a integral da função complicada vira simplesmente uma integral de 1 sobre a região em (r,\theta).

Passo 4

Determinar os limites em coordenadas polares (as curvas que limitam o domínio).
  • A equação do círculo x^{2}+y^{2}=2x em polares é
r^{2}=2r\cos\theta\quad\Longrightarrow\quad r=2\cos\theta\quad(\text{considerando }r>0).
  • A reta vertical x=1 em polares é
r\cos\theta=1\quad\Longrightarrow\quad r=\operatorname{sec}\theta.
  • A condição y\ge 0 corresponde a \theta entre 0 e \pi, mas pela presença de x entre 1 e 2 precisamos de \cos\theta>0, então \theta fica em [0,\tfrac{\pi}{2}].
  • Para um \theta fixo, r varia entre a interseção com a reta x=1 (menor r) e a interseção com o círculo (maior r). Logo em princípio r vai de r=\operatorname{sec}\theta até r=2\cos\theta.
  • Porém é necessário que \operatorname{sec}\theta\le 2\cos\theta, isto é
\frac{1}{\cos\theta}\le 2\cos\theta \quad\Longrightarrow\quad 1\le 2\cos^{2}\theta \quad\Longrightarrow\quad \cos^{2}\theta\ge \tfrac{1}{2}.
  • Em [0,\tfrac{\pi}{2}] isso equivale a 0\le \theta\le \tfrac{\pi}{4}.
  • Portanto os limites polares do domínio são
0\le \theta\le \tfrac{\pi}{4},\qquad \operatorname{sec}\theta \le r \le 2\cos\theta.
(Verificação rápida: em \theta=0 temos r de 1 a 2, que corresponde ao segmento no eixo x de x=1 a x=2; em \theta=\tfrac{\pi}{4} temos r=\sqrt{2} tanto em \operatorname{sec}\theta quanto em 2\cos\theta, ponto de encontro (1,1).)

Passo 5

Escrever a integral em coordenadas polares e simplificar.
  • Substituindo na integral original e usando a simplificação da integranda, obtemos
\iint_{D}\frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\, dA = \int_{0}^{\tfrac{\pi}{4}} \int_{\operatorname{sec}\theta}^{\,2\cos\theta} 1\; dr\, d\theta.
  • Integrando em r primeiro:
\int_{\operatorname{sec}\theta}^{\,2\cos\theta} 1\; dr = \bigl[r\bigr]_{r=\operatorname{sec}\theta}^{r=2\cos\theta} = 2\cos\theta - \operatorname{sec}\theta.
  • Assim a integral reduz-se a uma integral simples em \theta:
\int_{0}^{\tfrac{\pi}{4}} \bigl(2\cos\theta - \operatorname{sec}\theta\bigr)\, d\theta.

Passo 6

Calcular a integral em \theta — antiderivadas e avaliação nos limites.
  • Antiderivada de 2\cos\theta:
\int 2\cos\theta\, d\theta = 2\sin\theta.
  • Antiderivada de \operatorname{sec}\theta: recorde útil
\int \operatorname{sec}\theta \, d\theta = \ln\bigl|\operatorname{sec}\theta + \tan\theta\bigr| + C.
(uma forma rápida de ver isso é multiplicar e dividir por \operatorname{sec}\theta+\tan\theta e usar a derivada do denominador.)
  • Portanto uma primitiva de 2\cos\theta-\operatorname{sec}\theta é
F(\theta)=2\sin\theta - \ln\bigl|\operatorname{sec}\theta + \tan\theta\bigr|.
  • A integral vale, então,
\int_{0}^{\tfrac{\pi}{4}} \bigl(2\cos\theta - \operatorname{sec}\theta\bigr)\, d\theta = \bigl[\,2\sin\theta - \ln\bigl|\operatorname{sec}\theta + \tan\theta\bigr|\,\bigr]_{0}^{\tfrac{\pi}{4}}.

Resposta

\sqrt{2}-\ln\bigl(\sqrt{2}+1\bigr)

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