Calcule as integrais definidas.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que temos aqui: precisamos calcular a integral definida de 4x^3 + 4 no intervalo de -1 a 2. Isso está relacionado ao cálculo de áreas sob curvas usando a integral, que faz parte do cálculo integral. Para resolver isso, vamos precisar encontrar a antiderivada da função 4x^3 + 4 e depois aplicar os limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a antiderivada de 4x^3 + 4. A antiderivada é basicamente a operação inversa da derivada. Usamos a regra da potência para integrar cada termo:
integral 4x^3 , dx = 4 cdot x^44 = x^4
integral 4 , dx = 4x
Então, a antiderivada completa da função é:
x^4 + 4x + C
Onde C é a constante de integração, que não precisamos considerar para integrais definidas.

Passo 3

Agora que temos a antiderivada, vamos aplicar os limites de integração de -1 a 2. Isso significa que vamos calcular o valor da antiderivada em 2 e em -1 e depois subtrair os resultados:
[ x^4 + 4x ]-1^2 = (2^4 + 4 cdot 2) - ((-1)^4 + 4 cdot (-1))

Passo 4

Vamos calcular cada parte separadamente:
Para x = 2:
2^4 = 16
4 cdot 2 = 8
16 + 8 = 24
Para x = -1:
(-1)^4 = 1
4 cdot (-1) = -4
1 - 4 = -3

Passo 5

Agora, subtraímos os resultados obtidos nos dois limites:
24 - (-3) = 24 + 3 = 27

Resposta

A integral definida é igual a 27.

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