Calcule as integrais definidas.
integral-1^2 e^3 x+2 d x

Passo 1

Vamos resolver a integral definida integral-1^2 e^3 x+2 , dx. Aqui, estamos trabalhando com cálculo de integrais, especificamente integrais definidas envolvendo funções exponenciais. Para resolver isso, vamos precisar entender como encontrar a antiderivada de uma função exponencial e aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Temos e^3x + 2. Podemos reescrever isso usando propriedades dos expoentes:
e^3x + 2 = e^3x cdot e^2
Como e^2 é uma constante, podemos fatorá-lo para fora da integral:
integral-1^2 e^3x + 2 , dx = e^2 integral-1^2 e^3x , dx

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a antiderivada de e^3x. Lembre-se que a antiderivada de e^k x é 1k e^k x + C, onde C é a constante de integração. Portanto:
integral e^3x , dx = 13 e^3x + C

Passo 4

Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo, que nos diz que:
integrala^b f(x) , dx = F(b) - F(a)
onde F(x) é a antiderivada de f(x). Então, temos:
e^2 [ 13 e^3x ]-1^2 = e^2 ( 13 e^3 cdot 2 - 13 e^3 cdot (-1) )
Simplificando os expoentes:
= e^2 ( 13 e^6 - 13 e^-3 )

Passo 5

Agora, vamos calcular os valores numéricos:
= e^2 cdot 13 ( e^6 - e^-3 )
Podemos deixar a resposta dessa forma ou aproximar numericamente, dependendo da necessidade.

Resposta

A integral definida é igual a e^23 ( e^6 - e^-3 ).

Exercícios relacionados