Calcule as integrais definidas abaixo:
\int_{1}^{2} \frac{1+x}{x^{3}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{1}^{2} \frac{1+x}{x^{3}}\,dx.
Informações relevantes fornecidas:
  • Os limites de integração são 1 (inferior) e 2 (superior).
  • A função integranda é \dfrac{1+x}{x^{3}}, definida para x\neq0; nos limites dados a função é contínua (já que 1 e 2 são diferentes de 0), então a integral definida está bem posta.
  • A tarefa é calcular numericamente o valor dessa integral.

Passo 2

Primeiro, simplificamos a expressão algébrica para deixar a integral mais fácil de integrar. Transformamos a fração em soma de potências de x:
\frac{1+x}{x^{3}}=\frac{1}{x^{3}}+\frac{x}{x^{3}}=x^{-3}+x^{-2}.
Agora a integral fica
\int_{1}^{2}\left(x^{-3}+x^{-2}\right)\,dx.

Passo 3

Relembrando duas regras fundamentais que vou usar (explico cada uma):
  • Linearidade da integral: para funções f e g e constantes a,b,
\int (a f(x) + b g(x))\,dx = a\int f(x)\,dx + b\int g(x)\,dx.
Isso permite integrar termo a termo.
  • Regra da potência (antiderivada): para qualquer n\neq -1,
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C,
onde C é a constante de integração. Aqui n é o expoente de x e x^{n+1}/(n+1) é a função cuja derivada é x^{n}.
Exemplo curto para fixar: \int x^{2}\,dx=\dfrac{x^{3}}{3}+C, porque ao derivar \dfrac{x^{3}}{3} volta-se a x^{2}.

Passo 4

Aplicando a linearidade e a regra da potência aos termos x^{-3} e x^{-2}:
Para x^{-3}: aqui n=-3, então n+1=-2 e
\int x^{-3}\,dx = \frac{x^{-2}}{-2} = -\frac{1}{2}x^{-2} = -\frac{1}{2x^{2}}.
Para x^{-2}: aqui n=-2, então n+1=-1 e
\int x^{-2}\,dx = \frac{x^{-1}}{-1} = -x^{-1} = -\frac{1}{x}.
Somando as duas antiderivadas, uma antiderivada comum F(x) da integranda é
F(x) = -\frac{1}{2x^{2}} - \frac{1}{x} + C.

Passo 5

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, a integral definida é dada por
\int_{1}^{2}\left(x^{-3}+x^{-2}\right)\,dx = F(2)-F(1),
onde F é uma antiderivada (aquela que encontramos no passo anterior, sem a constante C).

Passo 6

Calculamos F(2) e F(1) explicitamente.
Substituindo x=2 em F(x):
F(2) = -\frac{1}{2\cdot 2^{2}} - \frac{1}{2} = -\frac{1}{2\cdot 4} - \frac{1}{2} = -\frac{1}{8} - \frac{1}{2} = -\frac{1}{8} - \frac{4}{8} = -\frac{5}{8}.
Substituindo x=1 em F(x):
F(1) = -\frac{1}{2\cdot 1^{2}} - \frac{1}{1} = -\frac{1}{2} - 1 = -\frac{1}{2} - \frac{2}{2} = -\frac{3}{2} = -\frac{12}{8}.

Passo 7

A integral definida é a diferença entre os dois valores:
\int_{1}^{2}\frac{1+x}{x^{3}}\,dx = F(2)-F(1) = \left(-\frac{5}{8}\right) - \left(-\frac{12}{8}\right).

Resposta

\dfrac{7}{8}

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