Calcule as integrais definidas abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
Informações relevantes fornecidas:
- Os limites de integração são
(inferior) e (superior). - A função integranda é
, definida para ; nos limites dados a função é contínua (já que e são diferentes de ), então a integral definida está bem posta. - A tarefa é calcular numericamente o valor dessa integral.
Passo 2
Primeiro, simplificamos a expressão algébrica para deixar a integral mais fácil de integrar. Transformamos a fração em soma de potências de
:
Agora a integral fica
Passo 3
Relembrando duas regras fundamentais que vou usar (explico cada uma):
- Linearidade da integral: para funções
e e constantes ,
Isso permite integrar termo a termo.
- Regra da potência (antiderivada): para qualquer
,
onde
é a constante de integração. Aqui
é o expoente de
e
é a função cuja derivada é
.
Exemplo curto para fixar:
, porque ao derivar
volta-se a
.
Passo 4
Aplicando a linearidade e a regra da potência aos termos
e
:
Para
: aqui
, então
e
Para
: aqui
, então
e
Somando as duas antiderivadas, uma antiderivada comum
da integranda é
Passo 5
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, a integral definida é dada por
onde
é uma antiderivada (aquela que encontramos no passo anterior, sem a constante
).
Passo 6
Calculamos
e
explicitamente.
Substituindo
em
:
Substituindo
em
:
Passo 7
A integral definida é a diferença entre os dois valores: