Encontre a derivada das seguintes funções:
f(t)=\operatorname{arctg} \sqrt{1+t^{2}}\

Passo 1

O enunciado dá a função
f(t)=\operatorname{arctg}\sqrt{1+t^{2}}
e pede para encontrar a derivada f'(t).
Informações relevantes: a função é composição de duas funções — a função externa \operatorname{arctg}(\cdot) e a função interna \sqrt{1+t^{2}}.

Passo 2

Vou lembrar duas regras que vamos usar (explicando o que cada símbolo significa):
  • Regra da cadeia (chain rule): se F(t)=G(H(t)), então
F'(t)=G'(H(t))\cdot H'(t),
onde G' é a derivada da função externa avaliada na função interna H(t), e H' é a derivada da função interna.
  • Derivadas básicas que precisamos:
    • A derivada da função \operatorname{arctg} x em relação a x é
    \frac{d}{dx}\big(\operatorname{arctg} x\big)=\frac{1}{1+x^{2}}.Aqui x é a variável independente da função \operatorname{arctg}.
    • A derivada da função \sqrt{u}=(u)^{1/2} em relação a u é
    \frac{d}{du}\big(u^{1/2}\big)=\frac{1}{2\sqrt{u}},onde u>0. Aplicando cadeia se u depender de t.

Passo 3

Identifico as partes para aplicar a regra da cadeia:
  • Função externa: G(x)=\operatorname{arctg} x.
  • Função interna: H(t)=\sqrt{1+t^{2}}=(1+t^{2})^{1/2}.
Vou calcular H'(t). Usando a regra da potência junto com a derivada de 1+t^{2}:
H(t)=(1+t^{2})^{1/2}\quad\Rightarrow\quad H'(t)=\frac{1}{2}(1+t^{2})^{-1/2}\cdot 2t.
Simplificando os fatores 2,
H'(t)=\frac{t}{\sqrt{1+t^{2}}}.

Passo 4

Agora aplico a regra da cadeia:
f'(t)=G'(H(t))\cdot H'(t).
Sabendo que G'(x)=\dfrac{1}{1+x^{2}}, substituo x=H(t)=\sqrt{1+t^{2}}:
G'(H(t))=\frac{1}{1+\big(\sqrt{1+t^{2}}\big)^{2}}.
Observe que \big(\sqrt{1+t^{2}}\big)^{2}=1+t^{2}, então
G'(H(t))=\frac{1}{1+(1+t^{2})}=\frac{1}{2+t^{2}}.
Multiplicando por H'(t) que já achamos,
f'(t)=\frac{1}{2+t^{2}}\cdot\frac{t}{\sqrt{1+t^{2}}}.

Passo 5

Simplificando a escrita, obtemos a forma final
f'(t)=\frac{t}{\big(t^{2}+2\big)\sqrt{1+t^{2}}}.
Comentários úteis para a prova:
  • O denominador nunca é zero para t\in\mathbb{R}, pois \sqrt{1+t^{2}}>0 e t^{2}+2>0; portanto a derivada existe para todo t\in\mathbb{R}.
  • Note que f é uma função par (porque \sqrt{1+t^{2}} é par e \operatorname{arctg} é função ímpar composta com algo par dá par), e a derivada encontrada é uma função ímpar (numerador t ímpar), o que bate com a regra geral que a derivada de função par é ímpar.

Resposta

f'(t)=\frac{t}{\big(t^{2}+2\big)\sqrt{1+t^{2}}}

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