Encontre a derivada das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para encontrar a derivada
.
Informações relevantes: a função é composição de duas funções — a função externa e a função interna
.
Informações relevantes: a função é composição de duas funções — a função externa
Passo 2
Vou lembrar duas regras que vamos usar (explicando o que cada símbolo significa):
- Regra da cadeia (chain rule): se
, então
onde
é a derivada da função externa avaliada na função interna
, e
é a derivada da função interna.
- Derivadas básicas que precisamos:
- A derivada da função
em relação a é
Aqui é a variável independente da função . - A derivada da função
em relação a é
onde . Aplicando cadeia se depender de . - A derivada da função
Passo 3
Identifico as partes para aplicar a regra da cadeia:
- Função externa:
. - Função interna:
.
Vou calcular
. Usando a regra da potência junto com a derivada de
:
Simplificando os fatores
,
Passo 4
Agora aplico a regra da cadeia:
Sabendo que
, substituo
:
Observe que
, então
Multiplicando por
que já achamos,
Passo 5
Simplificando a escrita, obtemos a forma final
Comentários úteis para a prova:
- O denominador nunca é zero para
, pois e ; portanto a derivada existe para todo . - Note que
é uma função par (porque é par e é função ímpar composta com algo par dá par), e a derivada encontrada é uma função ímpar (numerador ímpar), o que bate com a regra geral que a derivada de função par é ímpar.