Encontre a derivada das seguintes funções:
f(x)=\ln \left[\operatorname{arctg} x^{2}\right]

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(x)=\ln\!\bigl[\operatorname{arctg}(x^{2})\bigr].
Informações dadas:
  • A função está escrita explicitamente como f(x)=\ln(\operatorname{arctg}(x^{2})).
  • Não há imagens nem outros dados adicionais.
  • Deve-se encontrar f'(x) (a derivada em relação a x).

Passo 2

Vamos decompor a função em camadas para diferenciar passo a passo. Defino uma função intermediária
u(x)=\operatorname{arctg}(x^{2}),
de modo que
f(x)=\ln\bigl(u(x)\bigr).
Isto é só escrever a função de forma a ver claramente as duas “camadas”: o logaritmo natural aplicando-se a u, e u sendo a função \operatorname{arctg} de x^{2}.

Passo 3

Regra geral útil (e importantíssima) — se f(x)=\ln\bigl(u(x)\bigr), então a derivada é
f'(x)=\frac{u'(x)}{u(x)}.
Explicando por que: a derivada de \ln(t) em relação a t é 1/t. Pela regra da cadeia, quando temos \ln(u(x)) multiplicamos essa derivada por u'(x). Assim obtemos f'(x)=\dfrac{1}{u(x)}\cdot u'(x)=\dfrac{u'(x)}{u(x)}.

Passo 4

Agora precisamos de u'(x) para u(x)=\operatorname{arctg}(x^{2}). Novamente aplicamos a regra da cadeia: escrevemos u como composição de duas funções,
v(x)=x^{2}\quad\text{e}\quad u(v)=\operatorname{arctg}(v).
A derivada de \operatorname{arctg}(v) em relação a v é
\frac{d}{dv}\operatorname{arctg}(v)=\frac{1}{1+v^{2}}.
Isto é uma fórmula padrão: a derivada da função arco-tangente é 1/(1+v^{2}).

Passo 5

Agora calcule v'(x). Para v(x)=x^{2},
v'(x)=2x.
Pela regra da cadeia, u'(x)=\dfrac{d}{dv}\operatorname{arctg}(v)\big|_{v=x^{2}}\cdot v'(x). Substituindo:
u'(x)=\frac{1}{1+(x^{2})^{2}}\cdot 2x.

Passo 6

Simplificando (x^{2})^{2} obtemos x^{4}. Portanto
u'(x)=\frac{2x}{1+x^{4}}.

Passo 7

Volto para a fórmula do Passo 3: f'(x)=\dfrac{u'(x)}{u(x)}. Substituindo u'(x) e u(x) obtemos
f'(x)=\frac{\dfrac{2x}{1+x^{4}}}{\operatorname{arctg}(x^{2})}.
Colocando tudo numa única fração e simplificando:
f'(x)=\frac{2x}{\bigl(1+x^{4}\bigr)\,\operatorname{arctg}(x^{2})}.

Passo 8

Observações úteis para a prova:
  • Domínio de f: \operatorname{arctg}(x^{2})>0 para x\neq0, e \operatorname{arctg}(0)=0 torna \ln(0) indefinido. Logo a função original está definida para x\neq0. A derivada encontrada vale para x\neq0.
  • Atenção às duas aplicações da regra da cadeia: primeiro ao diferenciar \ln, depois ao diferenciar \operatorname{arctg} que também recebe x^{2}.
  • Um jeito rápido de memorizar: primeiro derive o “de fora” mantendo o interior, depois multiplique pela derivada do “interior”, e repita se houver mais composições.

Resposta

f'(x)=\frac{2x}{\bigl(1+x^{4}\bigr)\,\operatorname{arctg}(x^{2})}

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