A função está escrita explicitamente como f(x)=\ln(\operatorname{arctg}(x^{2})).
Não há imagens nem outros dados adicionais.
Deve-se encontrar f'(x) (a derivada em relação a x).
Passo 2
Vamos decompor a função em camadas para diferenciar passo a passo. Defino uma função intermediária
u(x)=\operatorname{arctg}(x^{2}),
de modo que
f(x)=\ln\bigl(u(x)\bigr).
Isto é só escrever a função de forma a ver claramente as duas “camadas”: o logaritmo natural aplicando-se a u, e u sendo a função \operatorname{arctg} de x^{2}.
Passo 3
Regra geral útil (e importantíssima) — se f(x)=\ln\bigl(u(x)\bigr), então a derivada é
f'(x)=\frac{u'(x)}{u(x)}.
Explicando por que: a derivada de \ln(t) em relação a t é 1/t. Pela regra da cadeia, quando temos \ln(u(x)) multiplicamos essa derivada por u'(x). Assim obtemos f'(x)=\dfrac{1}{u(x)}\cdot u'(x)=\dfrac{u'(x)}{u(x)}.
Passo 4
Agora precisamos de u'(x) para u(x)=\operatorname{arctg}(x^{2}). Novamente aplicamos a regra da cadeia: escrevemos u como composição de duas funções,
Domínio de f: \operatorname{arctg}(x^{2})>0 para x\neq0, e \operatorname{arctg}(0)=0 torna \ln(0) indefinido. Logo a função original está definida para x\neq0. A derivada encontrada vale para x\neq0.
Atenção às duas aplicações da regra da cadeia: primeiro ao diferenciar \ln, depois ao diferenciar \operatorname{arctg} que também recebe x^{2}.
Um jeito rápido de memorizar: primeiro derive o “de fora” mantendo o interior, depois multiplique pela derivada do “interior”, e repita se houver mais composições.