Calcule as integrais definidas abaixo:
\int_{\frac{\pi}{6}}^{\pi} \operatorname{sen}(x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{\frac{\pi}{6}}^{\pi} \operatorname{sen}(x)\,dx.
Informações dadas:
  • A função a integrar é \operatorname{sen}(x).
  • Os limites de integração são a=\dfrac{\pi}{6} (limite inferior) e b=\pi (limite superior).

Passo 2

Primeiro precisamos encontrar uma antiderivada (primitiva) de \operatorname{sen}(x), isto é, uma função F(x) tal que F'(x)=\operatorname{sen}(x). Conhecimento fundamental que usamos aqui: a derivada da função \cos(x) é -\operatorname{sen}(x). Assim, uma antiderivada de \operatorname{sen}(x) é
F(x) = -\cos(x),
porque ao derivar F obtemos F'(x) = -(-\operatorname{sen}(x)) = \operatorname{sen}(x). Esta verificação garante que F é realmente uma primitiva.
Também usamos o Teorema Fundamental do Cálculo: se F é uma antiderivada de f em [a,b], então
\int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b)-F(a).

Passo 3

Aplicando o teorema com F(x)=-\cos(x) e os limites a=\dfrac{\pi}{6}, b=\pi, obtemos
\int_{\frac{\pi}{6}}^{\pi} \operatorname{sen}(x)\,dx = \bigl[-\cos(x)\bigr]_{\frac{\pi}{6}}^{\pi} = -\cos(\pi) - \bigl(-\cos\bigl(\tfrac{\pi}{6}\bigr)\bigr).
Agora calculamos os cossenos conhecidos:
\cos(\pi) = -1\quad\text{(ângulo de }180^\circ\text{ na circunferência unitária)},âêá
\cos\bigl(\tfrac{\pi}{6}\bigr) = \cos(30^\circ)=\tfrac{\sqrt{3}}{2}\quad\text{(triângulo 30–60–90)}.â

Passo 4

Substituindo esses valores na expressão:
-\cos(\pi) - \bigl(-\cos\bigl(\tfrac{\pi}{6}\bigr)\bigr) = -(-1) + \tfrac{\sqrt{3}}{2} = 1 + \tfrac{\sqrt{3}}{2}.
Podemos colocar em uma única fração:
1 + \tfrac{\sqrt{3}}{2} = \tfrac{2}{2} + \tfrac{\sqrt{3}}{2} = \tfrac{2+\sqrt{3}}{2}.

Resposta

\dfrac{2+\sqrt{3}}{2}

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