Calcule as integrais definidas abaixo:
\int_{\pi}^{2 \pi} \cos x d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral definida
\int_{\pi}^{2\pi} \cos x\,dx.
Informações dadas:
  • A função integranda é \cos x.
  • O intervalo de integração é de x=\pi até x=2\pi.
  • A variável de integração é x (ângulo em radianos).

Passo 2

Lembrete útil sobre primitiva (antiderivada): uma primitiva F de uma função f é uma função cuja derivada é f, isto é, F'(x)=f(x). Para integrais indefinidas usamos
\int f(x)\,dx = F(x)+C,
onde C é constante arbitrária.
No caso de f(x)=\cos x, uma antiderivada conhecida é
\int \cos x\,dx = \sin x + C,
pois a derivada de \sin x é \cos x: \dfrac{d}{dx}\sin x=\cos x. Aqui x representa um ângulo em radianos.

Passo 3

Teorema fundamental do Cálculo (versão usada aqui): se F é uma antiderivada de f em um intervalo que contém a e b, então
\int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b)-F(a).
Vamos usar essa regra com f(x)=\cos x e F(x)=\sin x.

Passo 4

Aplicando a fórmula de avaliação:
\int_{\pi}^{2\pi} \cos x\,dx = \sin x \Big|_{x=\pi}^{x=2\pi} = \sin(2\pi)-\sin(\pi).
Agora usamos os valores do seno em pontos notáveis do círculo trigonométrico:
\sin(\pi)=0,\qquad \sin(2\pi)=0,
pois o seno é zero em todos os múltiplos inteiros de \pi.
Portanto
\sin(2\pi)-\sin(\pi)=0-0=0.
Como exemplo extra (para fixar): \int_{0}^{\pi/2}\cos x\,dx=\sin(\pi/2)-\sin(0)=1-0=1. Isso mostra o procedimento padrão: achar a primitiva e avaliar nos extremos.

Passo 5

Conclusão: a integral definida solicitada vale 0.

Resposta

0

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