Calcule as integrais definidas abaixo: \int_{\pi}^{2 \pi} \cos x d x
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral definida
\int_{\pi}^{2\pi} \cos x\,dx.
Informações dadas:
A função integranda é \cos x.
O intervalo de integração é de x=\pi até x=2\pi.
A variável de integração é x (ângulo em radianos).
Passo 2
Lembrete útil sobre primitiva (antiderivada): uma primitiva F de uma função f é uma função cuja derivada é f, isto é, F'(x)=f(x). Para integrais indefinidas usamos
\int f(x)\,dx = F(x)+C,
onde C é constante arbitrária.
No caso de f(x)=\cos x, uma antiderivada conhecida é
\int \cos x\,dx = \sin x + C,
pois a derivada de \sin x é \cos x: \dfrac{d}{dx}\sin x=\cos x. Aqui x representa um ângulo em radianos.
Passo 3
Teorema fundamental do Cálculo (versão usada aqui): se F é uma antiderivada de f em um intervalo que contém a e b, então
\int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b)-F(a).
Vamos usar essa regra com f(x)=\cos x e F(x)=\sin x.
Passo 4
Aplicando a fórmula de avaliação:
\int_{\pi}^{2\pi} \cos x\,dx = \sin x \Big|_{x=\pi}^{x=2\pi} = \sin(2\pi)-\sin(\pi).
Agora usamos os valores do seno em pontos notáveis do círculo trigonométrico:
\sin(\pi)=0,\qquad \sin(2\pi)=0,
pois o seno é zero em todos os múltiplos inteiros de \pi.
Portanto
\sin(2\pi)-\sin(\pi)=0-0=0.
Como exemplo extra (para fixar): \int_{0}^{\pi/2}\cos x\,dx=\sin(\pi/2)-\sin(0)=1-0=1. Isso mostra o procedimento padrão: achar a primitiva e avaliar nos extremos.