Calcule as integrais definidas abaixo:
\int_{-1}^{1} e^{x+1} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral definida
\int_{-1}^{1} e^{x+1}\,dx.
Informações importantes dadas:
  • O integrando é e^{x+1}.
  • Os limites de integração são x=-1 (limite inferior) e x=1 (limite superior).
  • A função e^{x+1} é contínua em [-1,1], logo a integral definida está bem determinada.

Passo 2

Estratégia escolhida: fazer uma substituição simples para eliminar o +1 no expoente. Defina a nova variável
u = x+1.
Agora vamos relacionar du com dx e transformar os limites:
  • Diferenciando, obtemos du = dx (porque a derivada de x+1 em relação a x é 1).
  • Quando x=-1, temos u = -1+1 = 0.
  • Quando x=1, temos u = 1+1 = 2.
Portanto a integral em x se transforma em uma integral em u:
\int_{-1}^{1} e^{x+1}\,dx = \int_{0}^{2} e^{u}\,du.

Passo 3

Lembra a antiderivada básica da exponencial: para qualquer constante u,
\frac{d}{du} e^{u} = e^{u},
logo uma primitiva (antiderivada) de e^{u} é e^{u} mesmo. Em notação:
\int e^{u}\,du = e^{u} + C,
onde C é a constante de integração (não precisamos dela para integral definida).

Passo 4

Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo na integral transformada:
\int_{0}^{2} e^{u}\,du = \bigl[e^{u}\bigr]_{0}^{2} = e^{2} - e^{0}.
Como e^{0}=1, obtemos
e^{2}-1.

Passo 5

Interpretação final e dica prática: a integral original vale e^{2}-1. Dica para a prova — sempre que aparecer \int e^{ax+b}\,dx, pode fazer a substituição u=ax+b ou lembrar que a primitiva é \dfrac{1}{a}e^{ax+b} (quando a\neq0). Aqui a=1, então a primitiva é simplesmente e^{x+1}.

Resposta

e^{2}-1

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