Calcule as integrais definidas abaixo:
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral definida
Informações importantes dadas:
- O integrando é
. - Os limites de integração são
(limite inferior) e (limite superior). - A função
é contínua em , logo a integral definida está bem determinada.
Passo 2
Estratégia escolhida: fazer uma substituição simples para eliminar o
no expoente. Defina a nova variável
Agora vamos relacionar
com
e transformar os limites:
- Diferenciando, obtemos
(porque a derivada de em relação a é ). - Quando
, temos . - Quando
, temos .
Portanto a integral em
se transforma em uma integral em
:
Passo 3
Lembra a antiderivada básica da exponencial: para qualquer constante
,
logo uma primitiva (antiderivada) de
é
mesmo. Em notação:
onde
é a constante de integração (não precisamos dela para integral definida).
Passo 4
Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo na integral transformada:
Como
, obtemos
Passo 5
Interpretação final e dica prática: a integral original vale
. Dica para a prova — sempre que aparecer
, pode fazer a substituição
ou lembrar que a primitiva é
(quando
). Aqui
, então a primitiva é simplesmente
.