Calcule as integrais definidas abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
.
Informações dadas: o integrando é a soma de três funções ,
e
, e os limites de integração são
(inferior) e
(superior).
Informações dadas: o integrando é a soma de três funções
Passo 2
Ideia geral (plano): usar a linearidade da integral e o Teorema Fundamental do Cálculo. A linearidade diz que a integral da soma é a soma das integrais e que uma constante pode ser fatorada:
Depois encontraremos a primitiva (antiderivada) de cada termo e avaliaremos nos limites
e
.
Passo 3
Lembrete de primitivas úteis (cada fórmula com explicação):
- A primitiva de
é porque a derivada de é novamente. - A regra da potência: para
, a primitiva de é . Aqui, para , temos e a primitiva será . - A primitiva de uma constante
é , porque a derivada de é .
Passo 4
Encontrar as primitivas (antiderivadas) de cada parcela:
Portanto uma primitiva da soma é
Passo 5
Aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo: avaliar
em
e
e subtrair:
Calcular
e
:
Passo 6
Avaliar numericamente as partes que não são exponenciais:
Assim
Logo
Passo 7
Verificação rápida por inspeção: cada parcela contribuiu como esperado:
,
,
. Somando
, igual ao resultado acima.