Calcule as integrais definidas abaixo:
\int_{0}^{3}\left(e^{x}+x^{2}+1\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida \displaystyle\int_{0}^{3}\left(e^{x}+x^{2}+1\right)\,dx.
Informações dadas: o integrando é a soma de três funções \,e^{x}, \,x^{2} e \,1, e os limites de integração são \,0 (inferior) e \,3 (superior).

Passo 2

Ideia geral (plano): usar a linearidade da integral e o Teorema Fundamental do Cálculo. A linearidade diz que a integral da soma é a soma das integrais e que uma constante pode ser fatorada:
\int_{0}^{3}\left(e^{x}+x^{2}+1\right)\,dx = \int_{0}^{3}e^{x}\,dx + \int_{0}^{3}x^{2}\,dx + \int_{0}^{3}1\,dx.
Depois encontraremos a primitiva (antiderivada) de cada termo e avaliaremos nos limites \,0 e \,3.

Passo 3

Lembrete de primitivas úteis (cada fórmula com explicação):
  • A primitiva de \,e^{x} é \,e^{x} porque a derivada de \,e^{x} é \,e^{x} novamente.
  • A regra da potência: para \,n\neq -1, a primitiva de \,x^{n} é \dfrac{x^{n+1}}{n+1}. Aqui, para \,x^{2}, temos n=2 e a primitiva será \dfrac{x^{3}}{3}.
  • A primitiva de uma constante \,c é \,c x, porque a derivada de \,c x é \,c.

Passo 4

Encontrar as primitivas (antiderivadas) de cada parcela:
\text{Primitiva de }e^{x}\;=\;e^{x}, \qquad \text{Primitiva de }x^{2}\;=\;\dfrac{x^{3}}{3}, \qquad \text{Primitiva de }1\;=\;x.
Portanto uma primitiva da soma é
F(x)=e^{x}+\dfrac{x^{3}}{3}+x.

Passo 5

Aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo: avaliar F(x) em \,x=3 e \,x=0 e subtrair:
\int_{0}^{3}\left(e^{x}+x^{2}+1\right)\,dx = F(3)-F(0).
Calcular F(3) e F(0):
F(3)=e^{3}+\dfrac{3^{3}}{3}+3, \qquad F(0)=e^{0}+\dfrac{0^{3}}{3}+0.

Passo 6

Avaliar numericamente as partes que não são exponenciais:
\dfrac{3^{3}}{3}=\dfrac{27}{3}=9, \qquad e^{0}=1.
Assim
F(3)=e^{3}+9+3=e^{3}+12, \qquad F(0)=1+0+0=1.
Logo
F(3)-F(0)=(e^{3}+12)-1=e^{3}+11.

Passo 7

Verificação rápida por inspeção: cada parcela contribuiu como esperado: \int_{0}^{3}e^{x}dx=e^{3}-1, \int_{0}^{3}x^{2}dx=9, \int_{0}^{3}1\,dx=3. Somando (e^{3}-1)+9+3=e^{3}+11, igual ao resultado acima.

Resposta

\,e^{3}+11

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