Questão 5: Utilize o Teorema do Confronto/Sanduíche para verificar a existência e determinar o (
/20%) valor do limite:
Explique cada etapa de forma clara e organizada.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se existe e, em caso afirmativo, determinar o valor do limite
Informações e observações que o enunciado nos dá (tiradas diretamente da expressão):
- A variável tende para a direita do zero:
. - A expressão é o produto de
(que está presente fora dos colchetes) por . - Para todo
a raiz quadrada satisfaz . - A função
oscila entre e ; ou seja, para todo argumento real vale .
O objetivo é aplicar o Teorema do Confronto (ou Teorema da Borracha/Sanduíche) para concluir sobre a existência e o valor do limite.
Passo 2
Mostrar as desigualdades básicas envolvendo
. Pelo fato trigonométrico conhecido:
Aplicando isso ao argumento
(que é bem definido para
), obtemos para
:
Passo 3
A partir da desigualdade anterior, somando
em todos os termos, temos para
:
Isso é importante porque coloca o fator oscilante dentro de um intervalo fixo
.
Passo 4
Como estamos interessados no produto com
e para
vale
, podemos multiplicar a desigualdade do Passo 3 por
sem mudar o sentido das desigualdades. Assim, para todo
:
Também note que da primeira desigualdade se obtém
, então podemos escrever a versão começando em
:
Passo 5
Agora analisamos os limites das funções que aparecem como limite inferior e superior do produto, quando
.
Primeiro, mostramos que
Prova pequena e direta (útil para a prova): dado
, escolha
. Se
então
. Isso demonstra exatamente a definição
.
Como multiplicar por
apenas escala, segue também que
Passo 6
Enunciado do Teorema do Confronto/Sanduíche (forma usada aqui):
e se
então existe
e vale
.
Intuição curta: se
fica sempre “preso” entre duas funções que se aproximam do mesmo número
, então
também precisa se aproximar de
.
Passo 7
Aplicando o Teorema do Confronto às desigualdades do Passo 4:
- Tomamos
, -
, -
.
Do Passo 5 sabemos que
Pelo Teorema do Confronto, as três funções têm o mesmo limite quando
. Logo o limite pedido existe e é igual a
.
Passo 8
Comentário prático para a prova (dica amiga): sempre que aparecer algo do tipo
com a oscilante limitada (por exemplo
ou
), uma estratégia muito eficiente é usar o Teorema do Confronto. Aqui
é a “pequena” que vai a zero e prende o produto ao zero apesar das oscilações infinitas de
.