Questão 5: Utilize o Teorema do Confronto/Sanduíche para verificar a existência e determinar o ( \_\_\_\_ /20%) valor do limite:
\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \sqrt{x} \cdot\left[1+\operatorname{sen}^{2}\left(\frac{2 \pi}{x}\right)\right]
Explique cada etapa de forma clara e organizada.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se existe e, em caso afirmativo, determinar o valor do limite
\lim_{x\to 0^{+}} \sqrt{x}\,\bigl[1+\operatorname{sen}^{2}\!\bigl(\tfrac{2\pi}{x}\bigr)\bigr].
Informações e observações que o enunciado nos dá (tiradas diretamente da expressão):
  • A variável tende para a direita do zero: x\to 0^{+}.
  • A expressão é o produto de \sqrt{x} (que está presente fora dos colchetes) por \bigl[1+\operatorname{sen}^{2}(\tfrac{2\pi}{x})\bigr].
  • Para todo x>0 a raiz quadrada satisfaz \sqrt{x}\ge 0.
  • A função \operatorname{sen}^{2}(\cdot) oscila entre 0 e 1; ou seja, para todo argumento real t vale 0\le \operatorname{sen}^{2}(t)\le 1.
    O objetivo é aplicar o Teorema do Confronto (ou Teorema da Borracha/Sanduíche) para concluir sobre a existência e o valor do limite.

Passo 2

Mostrar as desigualdades básicas envolvendo \operatorname{sen}^{2}. Pelo fato trigonométrico conhecido:
\text{para todo } t\in\mathbb{R}\quad 0 \le \operatorname{sen}^{2}(t) \le 1.
Aplicando isso ao argumento t=\tfrac{2\pi}{x} (que é bem definido para x\neq 0), obtemos para x\neq 0:
0 \le \operatorname{sen}^{2}\!\Bigl(\tfrac{2\pi}{x}\Bigr) \le 1.

Passo 3

A partir da desigualdade anterior, somando 1 em todos os termos, temos para x\neq 0:
1 \le 1+\operatorname{sen}^{2}\!\Bigl(\tfrac{2\pi}{x}\Bigr) \le 2.
Isso é importante porque coloca o fator oscilante dentro de um intervalo fixo [1,2].

Passo 4

Como estamos interessados no produto com \sqrt{x} e para x>0 vale \sqrt{x}\ge 0, podemos multiplicar a desigualdade do Passo 3 por \sqrt{x} sem mudar o sentido das desigualdades. Assim, para todo x>0:
\sqrt{x} \le \sqrt{x}\,\bigl[1+\operatorname{sen}^{2}\!\bigl(\tfrac{2\pi}{x}\bigr)\bigr] \le 2\sqrt{x}.
Também note que da primeira desigualdade se obtém 0 \le \sqrt{x}, então podemos escrever a versão começando em 0:
0 \le \sqrt{x} \le \sqrt{x}\,\bigl[1+\operatorname{sen}^{2}\!\bigl(\tfrac{2\pi}{x}\bigr)\bigr] \le 2\sqrt{x}.

Passo 5

Agora analisamos os limites das funções que aparecem como limite inferior e superior do produto, quando x\to 0^{+}.
Primeiro, mostramos que
\lim_{x\to 0^{+}} \sqrt{x} = 0.
Prova pequena e direta (útil para a prova): dado \varepsilon>0, escolha \delta=\varepsilon^{2}. Se 0<x<\delta então \sqrt{x}<\sqrt{\delta}=\varepsilon. Isso demonstra exatamente a definição \lim_{x\to 0^{+}}\sqrt{x}=0.
Como multiplicar por 2 apenas escala, segue também que
\lim_{x\to 0^{+}} 2\sqrt{x} = 2\cdot\lim_{x\to 0^{+}}\sqrt{x} = 2\cdot 0 = 0.

Passo 6

Enunciado do Teorema do Confronto/Sanduíche (forma usada aqui):
\text{Se para todo }x\text{ em algum intervalo punhado com }a\text{ vale }g(x)\le f(x)\le h(x),
e se
\lim_{x\to a} g(x)=\lim_{x\to a} h(x)=L,
então existe \lim_{x\to a} f(x) e vale \lim_{x\to a} f(x)=L.
Intuição curta: se f(x) fica sempre “preso” entre duas funções que se aproximam do mesmo número L, então f(x) também precisa se aproximar de L.

Passo 7

Aplicando o Teorema do Confronto às desigualdades do Passo 4:
  • Tomamos g(x)=0,
  • f(x)=\sqrt{x}\,\bigl[1+\operatorname{sen}^{2}\!(\tfrac{2\pi}{x})\bigr],
  • h(x)=2\sqrt{x}.
Do Passo 5 sabemos que
\lim_{x\to 0^{+}} g(x)=0\quad\text{e}\quad \lim_{x\to 0^{+}} h(x)=0.
Pelo Teorema do Confronto, as três funções têm o mesmo limite quando x\to 0^{+}. Logo o limite pedido existe e é igual a 0.

Passo 8

Comentário prático para a prova (dica amiga): sempre que aparecer algo do tipo \text{pequena}(x)\times\text{função oscilante}çã com a oscilante limitada (por exemplo \sin(1/x) ou \sin^{2}(1/x)), uma estratégia muito eficiente é usar o Teorema do Confronto. Aqui \sqrt{x} é a “pequena” que vai a zero e prende o produto ao zero apesar das oscilações infinitas de \operatorname{sen}^{2}(\tfrac{2\pi}{x}).

Resposta

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