Sabendo que as Equações Diferenciais abaixo não são Exatas, encontre os Fatores de Integração
\left(3 x^{2} y+2 x y+y^{3}\right) d x+\left(x^{2}+y^{2}\right) d y=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0
com
M(x,y)=3x^{2}y+2xy+y^{3}, \quad N(x,y)=x^{2}+y^{2},
e pede um fator integrante que torne a equação exata. Para isso, vamos usar o método dos fatores dependentes só de x ou só de y.

Passo 2

Verificamos que a equação não é exata, pois
\frac{\partial M}{\partial y} =3x^{2}+2x+3y^{2}, \quad \frac{\partial N}{\partial x} =2x,
e claramente \partial M/\partial y \neq \partial N/\partial x.

Passo 3

Testamos um fator integrante \mu(x) que dependa só de x. O critério é verificar se
\frac{\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}}{N}
é função apenas de x. Calculamos
\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x} =(3x^{2}+2x+3y^{2})-2x =3x^{2}+3y^{2}
e daí
\frac{3x^{2}+3y^{2}}{x^{2}+y^{2}} =3,
que é de fato função só de x (na verdade constante).

Passo 4

Como
\frac{\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}}{N}=3,
o fator integrante é
\mu(x) =\exp\Bigl(\int 3\,dx\Bigr) =\exp(3x) =e^{3x}.

Resposta

O fator integrante que depende apenas de x é
\mu(x)=e^{3x}.

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