(1,0 ponto) Calcule a área da regiāo \mathcal{R} delimitada pelas parábolas y=x^{2} e y=4-x^{2}.

Passo 1

O que o problema pede: calcular a área da região \mathcal{R} delimitada pelas parábolas \;y=x^{2}\; e \;y=4-x^{2}\;.
Informações dadas:
y=x^{2}
y=4-x^{2}
A região \mathcal{R} é a parte do plano limitada por essas duas curvas (ou seja, a interseção do interior delas). O enunciado não dá outras informações numéricas; cabe encontrar onde elas se intersectam e então calcular a área fechada entre elas.

Passo 2

Encontrar os pontos de interseção das curvas — isso define os limites de integração. Para interseção igualamos as duas expressões de y:
x^{2} = 4 - x^{2}
Resolvendo:
2x^{2} = 4
x^{2} = 2
x = \pm \sqrt{2}
Portanto as curvas se cruzam em x=-\sqrt{2} e x=+\sqrt{2}. Esses são os limites horizontais da região \mathcal{R}.

Passo 3

Determinar qual curva está acima (maior y) entre os pontos de interseção, para saber a ordem em \text{topo} - \text{base} no integrando. Avaliando em um ponto interior, por exemplo x=0:
y_{\text{primeira}}(0)=0^{2}=0
y_{\text{segunda}}(0)=4-0^{2}=4
Logo, \;y=4-x^{2}\; está acima de \;y=x^{2}\; no intervalo entre -\sqrt{2} e \sqrt{2}. Então o integrando será \;(\text{topo})-(\text{base}) = (4-x^{2}) - (x^{2}).

Passo 4

Formula para área entre duas curvas: se duas funções contínuas y_{\text{topo}}(x) e y_{\text{base}}(x) se intersectam em x=a e x=b e y_{\text{topo}}(x)\ge y_{\text{base}}(x) em [a,b], então a área entre elas é
\text{Área} = \int_{a}^{b} \bigl(y_{\text{topo}}(x) - y_{\text{base}}(x)\bigr)\,dx.Á
Aqui a=-\sqrt{2}, b=\sqrt{2}, y_{\text{topo}}(x)=4-x^{2} e y_{\text{base}}(x)=x^{2}. Explicando rápido: a integral soma infinitas tiras verticais de largura dx e altura y_{\text{topo}}-y_{\text{base}}.

Passo 5

Montar e simplificar o integrando:
y_{\text{topo}}(x)-y_{\text{base}}(x) = (4-x^{2}) - x^{2} = 4 - 2x^{2}.
Portanto
\text{Área} = \int_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \bigl(4 - 2x^{2}\bigr)\,dx.Á

Passo 6

Calcular a integral. Primeiro achamos uma primitiva (antiderivada) de 4-2x^{2}. Usando regras básicas:
\int 4\,dx = 4x,
\int 2x^{2}\,dx = 2\cdot\frac{x^{3}}{3} = \frac{2}{3}x^{3}.
Logo uma primitiva é
F(x) = 4x - \frac{2}{3}x^{3}.

Passo 7

Avaliar a primitiva nos limites e subtrair:
\text{Área} = F\bigl(\sqrt{2}\bigr) - F\bigl(-\sqrt{2}\bigr).Á
Calcule F(\sqrt{2}):
F\bigl(\sqrt{2}\bigr) = 4\sqrt{2} - \frac{2}{3}\bigl(\sqrt{2}\bigr)^{3}.
Como \bigl(\sqrt{2}\bigr)^{3} = 2\sqrt{2}, obtemos
F\bigl(\sqrt{2}\bigr) = 4\sqrt{2} - \frac{2}{3}\cdot 2\sqrt{2} = 4\sqrt{2} - \frac{4}{3}\sqrt{2} = \frac{8}{3}\sqrt{2}.
Agora F(-\sqrt{2}):
F(-\sqrt{2}) = 4(-\sqrt{2}) - \frac{2}{3}\bigl(-\sqrt{2}\bigr)^{3}.
Como \bigl(-\sqrt{2}\bigr)^{3} = -2\sqrt{2}, então
F(-\sqrt{2}) = -4\sqrt{2} - \frac{2}{3}\cdot(-2\sqrt{2}) = -4\sqrt{2} + \frac{4}{3}\sqrt{2} = -\frac{8}{3}\sqrt{2}.

Passo 8

Subtraindo:
\text{Área} = \frac{8}{3}\sqrt{2} - \bigl(-\frac{8}{3}\sqrt{2}\bigr) = \frac{16}{3}\sqrt{2}.Á
Uma verificação rápida usando simetria: a função 4-2x^{2} é par, então a área é 2\int_{0}^{\sqrt{2}}(4-2x^{2})dx, o que dá o mesmo resultado.

Resposta

\dfrac{16\sqrt{2}}{3}

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