(1,0 ponto) Calcule a área da regiāo
delimitada pelas parábolas
e
.
Passo 1
O que o problema pede: calcular a área da região
delimitada pelas parábolas
e
.
Informações dadas:
A região
é a parte do plano limitada por essas duas curvas (ou seja, a interseção do interior delas). O enunciado não dá outras informações numéricas; cabe encontrar onde elas se intersectam e então calcular a área fechada entre elas.
Passo 2
Encontrar os pontos de interseção das curvas — isso define os limites de integração. Para interseção igualamos as duas expressões de
:
Resolvendo:
Portanto as curvas se cruzam em
e
. Esses são os limites horizontais da região
.
Passo 3
Determinar qual curva está acima (maior
) entre os pontos de interseção, para saber a ordem em
no integrando. Avaliando em um ponto interior, por exemplo
:
Logo,
está acima de
no intervalo entre
e
. Então o integrando será
.
Passo 4
Formula para área entre duas curvas: se duas funções contínuas
e
se intersectam em
e
e
em
, então a área entre elas é
Aqui
,
,
e
. Explicando rápido: a integral soma infinitas tiras verticais de largura
e altura
.
Passo 5
Montar e simplificar o integrando:
Portanto
Passo 6
Calcular a integral. Primeiro achamos uma primitiva (antiderivada) de
. Usando regras básicas:
Logo uma primitiva é
Passo 7
Avaliar a primitiva nos limites e subtrair:
Calcule
:
Como
, obtemos
Agora
:
Como
, então
Passo 8
Subtraindo:
Uma verificação rápida usando simetria: a função
é par, então a área é
, o que dá o mesmo resultado.