(2,0 pontos) Considere a função
.
(a) Determine os intervalos de crescimento e de decrescimento de
.
(b) Classifique os pontos críticos de
.
(a) Determine os intervalos de crescimento e de decrescimento de
(b) Classifique os pontos críticos de
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede duas coisas:
(a) determinar os intervalos de crescimento (onde aumenta) e de decrescimento (onde
diminui);
(b) classificar os pontos críticos de (ou seja, os pontos onde
ou
não existe — aqui serão os pontos onde
).
(a) determinar os intervalos de crescimento (onde
(b) classificar os pontos críticos de
Informações relevantes dadas:
.
Domínio implícito: todos os reais, .
Pontos críticos: serão obtidos resolvendo (ou verificando onde
não existe — mas como
é polinomial,
existe em todo
).
Domínio implícito: todos os reais,
Pontos críticos: serão obtidos resolvendo
Passo 2
O que significa usar
: a derivada
dá a inclinação da reta tangente a
em
. Regra prática:
- Se
em um intervalo, é crescente ali. - Se
em um intervalo, é decrescente ali.
Primeiro vamos calcular. Derivando termo a termo:
Agora fatoramos para encontrar as raízes de forma simples:
Passo 3
Encontrar pontos críticos: resolvemos
.
Das fatores em obtemos:
Das fatores em
Como
é polinomial,
existe em todo lugar, então os únicos pontos críticos são
e
.
Passo 4
Análise do sinal de
(teste da primeira derivada) para obter intervalos de crescimento/decrescimento.
Observação prática: para todo
, e só zera em
. Portanto, para
o sinal de
é o mesmo do fator
.
Façamos um quadro com pontos de teste em cada intervalo formado pelos críticos: ,
,
.
Observação prática:
Façamos um quadro com pontos de teste em cada intervalo formado pelos críticos:
- Tomando
:
Logo
em
.
- Tomando
:
Logo
em
.
- Tomando
:
Logo
em
.
Conclusão sobre monotonicidade:
é negativo para todos os
(com zeros isolados em
e
), e positivo para
. Portanto
é decrescente em
e crescente em
. Observação: em
a derivada se anula, mas não há troca de sinal de
(fica negativa à esquerda e negativa à direita), então
não é extremum.
Passo 5
Classificação dos pontos críticos usando o teste da primeira derivada (explicado acima) e complemento com a segunda derivada quando útil.
Calculamos a segunda derivada:
Calculamos a segunda derivada:
Avaliações:
- Em
:
Como
, pela segunda derivada isso indica que
é um ponto de mínimo local (curvatura para cima).
- Em
:
portanto o teste da segunda derivada é inconclusivo. Mas do Passo 4 já vimos que
não troca de sinal em
(negativo à esquerda e negativo à direita), então
não é máximo nem mínimo. Podemos também verificar que a concavidade muda em
(por exemplo
e
), logo
é ponto de inflexão (às vezes chamado de ponto de sela): a derivada se anula mas não há extremo.
Finalmente, valores das funções nos pontos críticos (útil para interpretar):
Resposta
(a) Decresce em
. Cresce em
.\n
(b) Pontos críticos: e
.
:
, ponto de inflexão (derivada nula, não é máximo nem mínimo).
:
, mínimo local (
).
(b) Pontos críticos: