(2,0 pontos) Considere a função f(x)=x^{4}-x^{3}.
(a) Determine os intervalos de crescimento e de decrescimento de f.
(b) Classifique os pontos críticos de f.

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=x^{4}-x^{3} e pede duas coisas:
(a) determinar os intervalos de crescimento (onde f aumenta) e de decrescimento (onde f diminui);
(b) classificar os pontos críticos de f (ou seja, os pontos onde f'(x)=0 ou f' não existe — aqui serão os pontos onde f'(x)=0).
Informações relevantes dadas:
\;f(x)=x^{4}-x^{3}.
Domínio implícito: todos os reais, \mathbb{R}.
Pontos críticos: serão obtidos resolvendo f'(x)=0 (ou verificando onde f' não existe — mas como f é polinomial, f' existe em todo \mathbb{R}).

Passo 2

O que significa usar f'(x): a derivada f'(x) dá a inclinação da reta tangente a f em x. Regra prática:
  • Se f'(x)>0 em um intervalo, f é crescente ali.
  • Se f'(x)<0 em um intervalo, f é decrescente ali.
    Primeiro vamos calcular f'(x). Derivando termo a termo:
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{4}\bigr)-\frac{d}{dx}\bigl(x^{3}\bigr)=4x^{3}-3x^{2}.
Agora fatoramos para encontrar as raízes de forma simples:
f'(x)=4x^{3}-3x^{2}=x^{2}(4x-3).

Passo 3

Encontrar pontos críticos: resolvemos f'(x)=0.
Das fatores em x^{2}(4x-3)=0 obtemos:
x^{2}=0\implies x=0\quad(\text{raiz de multiplicidade 2}),\qquad 4x-3=0\implies x=\frac{3}{4}.
Como f é polinomial, f' existe em todo lugar, então os únicos pontos críticos são x=0 e x=\tfrac{3}{4}.

Passo 4

Análise do sinal de f'(x) (teste da primeira derivada) para obter intervalos de crescimento/decrescimento.
Observação prática: x^{2}\ge 0 para todo x, e só zera em x=0. Portanto, para x\neq 0 o sinal de f'(x) é o mesmo do fator (4x-3).
Façamos um quadro com pontos de teste em cada intervalo formado pelos críticos: (-\infty,0), (0,\tfrac{3}{4}), (\tfrac{3}{4},\infty).
  • Tomando x=-1\in(-\infty,0):
f'(-1)=(-1)^{2}(4\cdot(-1)-3)=1\cdot(-7)=-7<0.
Logo f'<0 em (-\infty,0).
  • Tomando x=\tfrac{1}{2}\in(0,\tfrac{3}{4}):
f'\!\bigl(\tfrac{1}{2}\bigr)=\bigl(\tfrac{1}{2}\bigr)^{2}\bigl(4\cdot\tfrac{1}{2}-3\bigr)=\tfrac{1}{4}\cdot(2-3)=\tfrac{1}{4}\cdot(-1)=-\tfrac{1}{4}<0.
Logo f'<0 em (0,\tfrac{3}{4}).
  • Tomando x=1\in(\tfrac{3}{4},\infty):
f'(1)=1^{2}(4-3)=1>0.
Logo f'>0 em (\tfrac{3}{4},\infty).
Conclusão sobre monotonicidade: f' é negativo para todos os x<\tfrac{3}{4} (com zeros isolados em x=0 e x=\tfrac{3}{4}), e positivo para x>\tfrac{3}{4}. Portanto f é decrescente em (-\infty,\tfrac{3}{4}) e crescente em (\tfrac{3}{4},\infty). Observação: em x=0 a derivada se anula, mas não há troca de sinal de f' (fica negativa à esquerda e negativa à direita), então x=0 não é extremum.

Passo 5

Classificação dos pontos críticos usando o teste da primeira derivada (explicado acima) e complemento com a segunda derivada quando útil.
Calculamos a segunda derivada:
f''(x)=\frac{d}{dx}\bigl(4x^{3}-3x^{2}\bigr)=12x^{2}-6x=6x(2x-1).
Avaliações:
  • Em x=\tfrac{3}{4}:
f''\!\bigl(\tfrac{3}{4}\bigr)=6\cdot\tfrac{3}{4}\cdot\bigl(2\cdot\tfrac{3}{4}-1\bigr) =6\cdot\tfrac{3}{4}\cdot\tfrac{1}{2}= \tfrac{27}{12}= \tfrac{9}{4}>0.
Como f''(\tfrac{3}{4})>0, pela segunda derivada isso indica que x=\tfrac{3}{4} é um ponto de mínimo local (curvatura para cima).
  • Em x=0:
f''(0)=6\cdot 0\cdot(2\cdot 0-1)=0,
portanto o teste da segunda derivada é inconclusivo. Mas do Passo 4 já vimos que f' não troca de sinal em 0 (negativo à esquerda e negativo à direita), então x=0 não é máximo nem mínimo. Podemos também verificar que a concavidade muda em x=0 (por exemplo f''(-1)>0 e f''(0{,}25)<0), logo x=0 é ponto de inflexão (às vezes chamado de ponto de sela): a derivada se anula mas não há extremo.
Finalmente, valores das funções nos pontos críticos (útil para interpretar):
f(0)=0,\qquad f\!\bigl(\tfrac{3}{4}\bigr)=\bigl(\tfrac{3}{4}\bigr)^{4}-\bigl(\tfrac{3}{4}\bigr)^{3} =\tfrac{81}{256}-\tfrac{108}{256}=-\tfrac{27}{256}.

Resposta

(a) Decresce em (-\infty,\tfrac{3}{4}). Cresce em (\tfrac{3}{4},\infty).\n
(b) Pontos críticos: x=0 e x=\tfrac{3}{4}. x=0: f(0)=0, ponto de inflexão (derivada nula, não é máximo nem mínimo). x=\tfrac{3}{4}: f(\tfrac{3}{4})=-\tfrac{27}{256}, mínimo local ( f''(\tfrac{3}{4})>0 ).

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