Calcule as integrais definidas abaixo:
\int_{1}^{3}\left(x^{2}+2 x+4\right) d x

Passo 1

O que o enunciado pede e o que é dado\n
  • O enunciado pede para calcular a integral definida \displaystyle \int_{1}^{3}\left(x^{2}+2x+4\right)\,dx.\n
  • Informação dada: é uma integral definida no intervalo [1,3] da função x^{2}+2x+4.\n

Passo 2

Regras e fórmulas que vamos usar (explicadas devagarinho)\n
  • Linearidade da integral: a integral da soma é a soma das integrais, e constantes saem da integral. Em fórmulas:
\int (f(x)+g(x))\,dx = \int f(x)\,dx + \int g(x)\,dx, \qquad \int c\cdot f(x)\,dx = c\int f(x)\,dx,
onde c é constante.\n
  • Regra da potência (antiderivada): para n\neq -1,
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C,
onde C é a constante de integração. Aqui usamos isso para obter antiderivadas de polinômios. Cada termo x^n vira \dfrac{x^{n+1}}{n+1}.\n

Passo 3

Aplicando a linearidade para separar a integral\n
\int_{1}^{3}\left(x^{2}+2x+4\right)\,dx = \int_{1}^{3}x^{2}\,dx + \int_{1}^{3}2x\,dx + \int_{1}^{3}4\,dx.
Isso facilita porque agora tratamos cada termo isoladamente.\n

Passo 4

Encontrando as antiderivadas de cada termo (usar a regra da potência)\n
  • Para \int x^{2}\,dx: aplicando a regra da potência com n=2,
\int x^{2}\,dx = \frac{x^{3}}{3} + C.
  • Para \int 2x\,dx: factoramos a constante 2 e usamos a potência com n=1,
\int 2x\,dx = 2\int x\,dx = 2\cdot\frac{x^{2}}{2} = x^{2} + C.
  • Para \int 4\,dx: constante 4 tem antiderivada 4x,
\int 4\,dx = 4x + C.
Portanto a antiderivada (primitiva) da função inteira é
F(x)=\frac{x^{3}}{3}+x^{2}+4x.
(Lembre-se: para integral definida não precisamos da constante C.)\n

Passo 5

Teorema Fundamental do Cálculo e avaliação na borda\n
O Teorema Fundamental do Cálculo diz que, se F é uma antiderivada de f, então
\int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b)-F(a).
Aqui a=1, b=3 e F(x)=\dfrac{x^{3}}{3}+x^{2}+4x. Então
\int_{1}^{3}\left(x^{2}+2x+4\right)\,dx = F(3)-F(1).\n

Passo 6

Cálculo numérico passo a passo\n
Calcule F(3):
F(3)=\frac{3^{3}}{3}+3^{2}+4\cdot 3 =\frac{27}{3}+9+12 =9+9+12 =30.
Calcule F(1):
F(1)=\frac{1^{3}}{3}+1^{2}+4\cdot 1 =\frac{1}{3}+1+4 =\frac{1}{3}+5 =\frac{1+15}{3} =\frac{16}{3}.
Subtraindo:
F(3)-F(1)=30-\frac{16}{3}=\frac{90}{3}-\frac{16}{3}=\frac{74}{3}.\n

Resposta

\dfrac{74}{3}

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