Olhando para uma tabela de derivadas (caso você não lembre), calcule as integrais indefinidas abaixo:
Passo 1
O que o enunciado pede e quais dados temos:
- Pede-se calcular a integral indefinida
. - Informação dada: a função integranda é
, ou seja, o quadrado da cosecante de . - Objetivo: encontrar uma primitiva
tal que , mais a constante de integração .
Passo 2
Ideia principal que vamos usar (explicação didática):
- Uma integral indefinida pede uma antiderivada: se
então . Aqui queremos encontrar cuja derivada é . - Uma estratégia muito comum é reconhecer um padrão conhecido: muitas funções trigonométricas têm derivadas simples (por exemplo
, , , , , ). Se soubermos que a derivada de alguma função trigonométrica é , já encontramos a primitiva. - Outra estratégia é usar substituição: se existir
com proporcional a , transformamos a integral em .
Vou mostrar as duas abordagens (reconhecimento direto através da derivada e substituição) para você ver que são equivalentes.
Passo 3
Encontrar a derivada de
(passo chave):
- Lembre que
. - Vamos usar a regra do quociente. A regra do quociente diz: se
e são diferenciáveis, então
Aqui
e
. Então
e
.
- Aplicando a regra do quociente:
- Agora calcular o numerador:
- Usando a identidade trigonométrica
, o numerador fica . Logo
- Reescrevendo
, obtemos
Passo 4
Concluir a primitiva a partir da derivada encontrada:
- Como
, isto implica que a derivada de é :
- Pelo conceito de antiderivada, isso significa que uma primitiva de
é . Portanto
onde
é constante de integração.
Passo 5
Verificação alternativa por substituição (checa rápido e ajuda a fixar a ideia):
- Faça a substituição
. Então . - Daí
e a integral fica
que é o mesmo resultado. Isso confirma a resposta por um caminho diferente.
Passo 6
Resumo final e incentivo:
- Resultado encontrado e verificado: a primitiva de
é . - Dica para a prova: memorize que
e também que ; esses padrões salvam tempo e evitam contas desnecessárias. - Força aí — esse tipo de integral aparece direto e, depois de decorar/entender estes padrões, você faz na hora numa boa.