Olhando para uma tabela de derivadas (caso você não lembre), calcule as integrais indefinidas abaixo:
\int \csc ^{2} x d x

Passo 1

O que o enunciado pede e quais dados temos:
  • Pede-se calcular a integral indefinida \displaystyle \int \csc^{2} x\,dx.
  • Informação dada: a função integranda é \csc^{2} x, ou seja, o quadrado da cosecante de x.
  • Objetivo: encontrar uma primitiva F(x) tal que F'(x)=\csc^{2} x, mais a constante de integração C.

Passo 2

Ideia principal que vamos usar (explicação didática):
  • Uma integral indefinida pede uma antiderivada: se F'(x)=f(x) então \int f(x)\,dx = F(x)+C. Aqui queremos encontrar F cuja derivada é \csc^{2} x.
  • Uma estratégia muito comum é reconhecer um padrão conhecido: muitas funções trigonométricas têm derivadas simples (por exemplo \sin, \cos, \tan, \cot, \operatorname{sec}, \csc). Se soubermos que a derivada de alguma função trigonométrica é \pm\csc^{2}x, já encontramos a primitiva.
  • Outra estratégia é usar substituição: se existir u(x) com du proporcional a \csc^{2}x\,dx, transformamos a integral em \int du.
Vou mostrar as duas abordagens (reconhecimento direto através da derivada e substituição) para você ver que são equivalentes.

Passo 3

Encontrar a derivada de \cot x (passo chave):
  • Lembre que \cot x = \dfrac{\cos x}{\sin x}.
  • Vamos usar a regra do quociente. A regra do quociente diz: se u(x) e v(x) são diferenciáveis, então
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}.
Aqui u(x)=\cos x e v(x)=\sin x. Então u'(x)=-\sin x e v'(x)=\cos x.
  • Aplicando a regra do quociente:
\frac{d}{dx}(\cot x) = \frac{(-\sin x)\cdot(\sin x)-(\cos x)\cdot(\cos x)}{(\sin x)^{2}}.
  • Agora calcular o numerador:
(-\sin x)(\sin x)-(\cos x)(\cos x) = -\sin^{2}x-\cos^{2}x = -(\sin^{2}x+\cos^{2}x).
  • Usando a identidade trigonométrica \sin^{2}x+\cos^{2}x=1, o numerador fica -1. Logo
\frac{d}{dx}(\cot x)=\frac{-1}{\sin^{2}x}.
  • Reescrevendo \dfrac{1}{\sin^{2}x}=(\csc x)^{2}=\csc^{2}x, obtemos
\frac{d}{dx}(\cot x) = -\csc^{2}x.

Passo 4

Concluir a primitiva a partir da derivada encontrada:
  • Como \dfrac{d}{dx}(\cot x) = -\csc^{2}x, isto implica que a derivada de -\cot x é \csc^{2}x:
\frac{d}{dx}(-\cot x)= -\frac{d}{dx}(\cot x)= -\bigl(-\csc^{2}x\bigr)=\csc^{2}x.
  • Pelo conceito de antiderivada, isso significa que uma primitiva de \csc^{2}x é -\cot x. Portanto
\int \csc^{2}x\,dx = -\cot x + C,
onde C é constante de integração.

Passo 5

Verificação alternativa por substituição (checa rápido e ajuda a fixar a ideia):
  • Faça a substituição u=\cot x. Então du = \dfrac{d}{dx}(\cot x)\,dx = -\csc^{2}x\,dx.
  • Daí \csc^{2}x\,dx = -du e a integral fica
\int \csc^{2}x\,dx = \int (-du) = -\int du = -u + C = -\cot x + C,
que é o mesmo resultado. Isso confirma a resposta por um caminho diferente.

Passo 6

Resumo final e incentivo:
  • Resultado encontrado e verificado: a primitiva de \csc^{2}x é -\cot x + C.
  • Dica para a prova: memorize que \dfrac{d}{dx}(\cot x)=-\csc^{2}x e também que \dfrac{d}{dx}(\tan x)=\operatorname{sec}^{2}x; esses padrões salvam tempo e evitam contas desnecessárias.
  • Força aí — esse tipo de integral aparece direto e, depois de decorar/entender estes padrões, você faz na hora numa boa.

Resposta

-\cot x + C

Exercícios relacionados