Calcule as integrais indefinidas abaixo:
\int\left(x^{2}+\frac{3}{x}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int\left(x^{2}+\frac{3}{x}\right)\,dx.
Informações dadas:
  • A função a integrar é x^{2}+\dfrac{3}{x}.
  • É uma integral indefinida, logo o resultado deve conter a constante de integração C.

Passo 2

Usamos a propriedade de linearidade da integral: a integral da soma é a soma das integrais. Ou seja,
\int\left(x^{2}+\frac{3}{x}\right)\,dx=\int x^{2}\,dx+\int\frac{3}{x}\,dx.
Isto é útil porque permite tratar cada termo separadamente.

Passo 3

Regra do fator constante: se há um constante multiplicando a função, pode-se tirá‑la para fora da integral:
\int\frac{3}{x}\,dx=3\int\frac{1}{x}\,dx.
Também reescrevemos potências quando for conveniente: x^{2} já está na forma de potência; \dfrac{1}{x}=x^{-1}.

Passo 4

Regra da potência (para integrais): para n\neq -1,
\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C.
Aqui n=2, portanto
\int x^{2}\,dx=\frac{x^{3}}{3}+C_1.
(Isto vem da ideia inversa da derivada: a derivada de \dfrac{x^{3}}{3} é x^{2}.)

Passo 5

Caso especial n=-1: para \dfrac{1}{x}=x^{-1} a regra da potência não vale. Neste caso vale
\int\frac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C,
porque a derivada de \ln|x| é \dfrac{1}{x}. Assim,
3\int\frac{1}{x}\,dx=3\ln|x|+C_2.

Passo 6

Somando as duas partes (e agrupando as constantes C_1 e C_2 numa única constante C), obtemos a primitiva da função:
\int\left(x^{2}+\frac{3}{x}\right)\,dx=\frac{x^{3}}{3}+3\ln|x|+C.

Passo 7

Verificação rápida (sempre faça isso na prova se tiver tempo): derivando o resultado,
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{x^{3}}{3}+3\ln|x|+C\right)=x^{2}+\frac{3}{x},
que é exatamente o integrando. Portanto está correto. Força — está feito!

Resposta

\displaystyle \frac{x^{3}}{3}+3\ln|x|+C

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