Calcule as integrais definidas abaixo:
\int_{1}^{2}\left(x+\frac{1}{x}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{1}^{2}\left(x+\frac{1}{x}\right)\,dx.
Informações dadas:
  • O integrando é \,x+\dfrac{1}{x}\,.
  • Os limites de integração são 1 (inferior) e 2 (superior).
    O que se pede: encontrar o valor numérico da integral definida acima.

Passo 2

Vamos usar a propriedade de linearidade da integral, que diz que a integral da soma é a soma das integrais e que constantes podem ser puxadas para fora. Em símbolos:
\int_{a}^{b}\big(f(x)+g(x)\big)\,dx=\int_{a}^{b}f(x)\,dx+\int_{a}^{b}g(x)\,dx.
Aplicando isso ao nosso integrando,
\int_{1}^{2}\left(x+\frac{1}{x}\right)\,dx = \int_{1}^{2}x\,dx+\int_{1}^{2}\frac{1}{x}\,dx.
Isto torna o problema mais simples: resolvemos duas integrais mais básicas e somamos os resultados.

Passo 3

Agora precisamos das antiderivadas (primitivas) das duas funções.
  • Para x: usamos a regra da potência. A regra diz que, para n\neq -1,
\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C,
onde C é a constante de integração. No caso x=x^{1}, temos
\int x\,dx=\frac{x^{2}}{2}+C.
  • Para \dfrac{1}{x}: sabemos que a derivada de \ln|x| é \dfrac{1}{x} para x\neq 0. Assim a antiderivada é
\int \frac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C.
Como os limites de integração estão em 1 a 2 (valores positivos), podemos usar \ln x sem problema, pois |x|=x para x>0.

Passo 4

Agora aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo: avaliamos as antiderivadas nos limites e subtraímos.
A antiderivada conjunta é
F(x)=\frac{x^{2}}{2}+\ln x.
Logo
\int_{1}^{2}\left(x+\frac{1}{x}\right)\,dx =F(2)-F(1) =\left(\frac{2^{2}}{2}+\ln 2\right)-\left(\frac{1^{2}}{2}+\ln 1\right).
Calcule passo a passo:
\frac{2^{2}}{2}=\frac{4}{2}=2, \qquad \frac{1^{2}}{2}=\frac{1}{2}, \qquad \ln 1=0.
Portanto
F(2)-F(1)=\big(2+\ln 2\big)-\big(\tfrac{1}{2}+0\big) =2-\tfrac{1}{2}+\ln 2=\tfrac{3}{2}+\ln 2.

Passo 5

Interpretando o resultado: a integral acumulada do integrando entre 1 e 2 é a soma de \tfrac{3}{2} (parte polinomial) com \ln 2 (parte logarítmica). Se quiser uma aproximação numérica rápida, \ln 2\approx0,6931, então a integral vale aproximadamente 1{,}5+0{,}6931\approx2{,}1931.

Resposta

\tfrac{3}{2}+\ln 2

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