Calcule as integrais definidas abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
Informações dadas:
- O integrando é
. - Os limites de integração são
(inferior) e (superior).
O que se pede: encontrar o valor numérico da integral definida acima.
Passo 2
Vamos usar a propriedade de linearidade da integral, que diz que a integral da soma é a soma das integrais e que constantes podem ser puxadas para fora. Em símbolos:
Aplicando isso ao nosso integrando,
Isto torna o problema mais simples: resolvemos duas integrais mais básicas e somamos os resultados.
Passo 3
Agora precisamos das antiderivadas (primitivas) das duas funções.
- Para
: usamos a regra da potência. A regra diz que, para ,
onde
é a constante de integração. No caso
, temos
- Para
: sabemos que a derivada de é para . Assim a antiderivada é
Como os limites de integração estão em
a
(valores positivos), podemos usar
sem problema, pois
para
.
Passo 4
Agora aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo: avaliamos as antiderivadas nos limites e subtraímos.
A antiderivada conjunta é
A antiderivada conjunta é
Logo
Calcule passo a passo:
Portanto
Passo 5
Interpretando o resultado: a integral acumulada do integrando entre
e
é a soma de
(parte polinomial) com
(parte logarítmica). Se quiser uma aproximação numérica rápida,
, então a integral vale aproximadamente
.