Calcule as integrais definidas abaixo.
\int_{-2}^{1}\left(e^{x}-e^{-x}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{-2}^{1}\left(e^{x}-e^{-x}\right)\,dx.
Informações dadas:
  • A função a integrar é f(x)=e^{x}-e^{-x}.
  • O intervalo de integração é de x=-2 até x=1.
    O objetivo é obter o valor numérico exato (ou uma forma fechada) dessa integral.

Passo 2

Vamos usar duas ideias básicas e úteis para integrais:
  1. Linearidade da integral: para funções u(x) e v(x) vale
\int (u+v)=\int u+\int v
e constantes saem da integral.
2) Antiderivada de e^{ax}: para a\neq 0
\int e^{ax}\,dx=\frac{1}{a}e^{ax}+C.
Justificação rápida: diferenciar \dfrac{1}{a}e^{ax} \dfrac{1}{a}\cdot a e^{ax}=e^{ax}, logo é uma primitiva.

Passo 3

Aplicando a linearidade, escrevemos
\int_{-2}^{1}\left(e^{x}-e^{-x}\right)\,dx = \int_{-2}^{1}e^{x}\,dx - \int_{-2}^{1}e^{-x}\,dx.
Agora usamos a fórmula das antiderivadas:
  • Para e^{x} (aqui a=1) a primitiva é e^{x}.
  • Para e^{-x} (aqui a=-1) a primitiva é \dfrac{1}{-1}e^{-x}=-e^{-x}.
Portanto uma primitiva da função inteira é
F(x)=e^{x}-\bigl(-e^{-x}\bigr)=e^{x}+e^{-x}.
(Coloquei a constante de integração só para lembrar; para integral definida vamos avaliar F nos limites.)

Passo 4

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo,
\int_{-2}^{1}\left(e^{x}-e^{-x}\right)\,dx=F(1)-F(-2).
Calculemos F(1) e F(-2):
F(1)=e^{1}+e^{-1}=e+e^{-1}, \qquad F(-2)=e^{-2}+e^{2}.
Logo
\int_{-2}^{1}\left(e^{x}-e^{-x}\right)\,dx = \bigl(e+e^{-1}\bigr)-\bigl(e^{-2}+e^{2}\bigr).

Passo 5

Podemos deixar o resultado na forma exata
e+e^{-1}-e^{2}-e^{-2}.
Se quiser ver uma aproximação numérica rápida, usando e\approx2{,}718281828:
e+e^{-1}\approx 2{,}7182818+0{,}3678794\approx 3{,}0861612,
e^{2}+e^{-2}\approx 7{,}3890561+0{,}1353353\approx 7{,}5243914,
portanto a integral vale aproximadamente -4{,}4382302. Dá para ver que o resultado é negativo porque a parte negativa -e^{2} domina.

Resposta

e+e^{-1}-e^{2}-e^{-2}

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