Calcule as integrais definidas abaixo.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
Informações dadas:
- A função a integrar é
. - O intervalo de integração é de
até .
O objetivo é obter o valor numérico exato (ou uma forma fechada) dessa integral.
Passo 2
Vamos usar duas ideias básicas e úteis para integrais:
- Linearidade da integral: para funções
e vale
e constantes saem da integral.
2) Antiderivada de : para
2) Antiderivada de
Justificação rápida: diferenciar
dá
, logo é uma primitiva.
Passo 3
Aplicando a linearidade, escrevemos
Agora usamos a fórmula das antiderivadas:
- Para
(aqui ) a primitiva é . - Para
(aqui ) a primitiva é .
Portanto uma primitiva da função inteira é
(Coloquei a constante de integração só para lembrar; para integral definida vamos avaliar
nos limites.)
Passo 4
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo,
Calculemos
e
:
Logo
Passo 5
Podemos deixar o resultado na forma exata
Se quiser ver uma aproximação numérica rápida, usando
:
portanto a integral vale aproximadamente
. Dá para ver que o resultado é negativo porque a parte negativa
domina.