Calcule as integrais definidas abaixo.
\int_{1}^{3} \frac{x^{2}}{x^{2}+1} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{1}^{3} \frac{x^{2}}{x^{2}+1}\,dx.
Informações dadas:
  • Limites de integração: x=1 (inferior) e x=3 (superior).
  • Integrando: \dfrac{x^{2}}{x^{2}+1}.
    A tarefa é encontrar o valor numérico exato (e, se quiser, uma aproximação) dessa integral definida.

Passo 2

Primeiro vamos simplificar a expressão do integrando de forma algébrica. Observe que
x^{2} = (x^{2}+1)-1.
Dividindo ambos os termos por (x^{2}+1) obtemos
\frac{x^{2}}{x^{2}+1} = \frac{x^{2}+1}{x^{2}+1} - \frac{1}{x^{2}+1} = 1 - \frac{1}{x^{2}+1}.
Essa reescrita é útil porque transforma a função em soma/diferença de funções mais simples de integrar.

Passo 3

Usando a linearidade da integral (a integral da diferença é a diferença das integrais), temos
\int_{1}^{3} \frac{x^{2}}{x^{2}+1}\,dx = \int_{1}^{3} \left(1 - \frac{1}{x^{2}+1}\right)\,dx = \int_{1}^{3} 1\,dx \;-\; \int_{1}^{3} \frac{1}{x^{2}+1}\,dx.
Vou agora calcular cada uma dessas integrais separadamente.

Passo 4

A primeira integral é direta:
\int_{1}^{3} 1\,dx = \left. x \right|_{1}^{3} = 3-1 = 2.
Explicação rápida: a primitiva de 1 é x, e o Teorema Fundamental do Cálculo diz para avaliar essa primitiva nos limites e subtrair.

Passo 5

A segunda integral usa uma primitiva padrão. Sabe-se (e pode-se verificar derivando) que
\frac{d}{dx}\bigl(\arctan x\bigr)=\frac{1}{1+x^{2}}.
Portanto uma primitiva de \dfrac{1}{x^{2}+1} é \arctan x. Assim
\int_{1}^{3} \frac{1}{x^{2}+1}\,dx = \left. \arctan x \right|_{1}^{3} = \arctan 3 - \arctan 1.
Lembrando que \arctan 1 = \dfrac{\pi}{4}.

Passo 6

Juntando os resultados das duas integrais:
\int_{1}^{3} \frac{x^{2}}{x^{2}+1}\,dx = 2 - \bigl(\arctan 3 - \arctan 1\bigr) = 2 - \arctan 3 + \arctan 1.
Substituindo \arctan 1 = \dfrac{\pi}{4} obtemos a forma final exata
2 + \frac{\pi}{4} - \arctan 3.

Resposta

2 + \dfrac{\pi}{4} - \arctan 3

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