Calcule as integrais definidas abaixo.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
Informações dadas:
- Limites de integração:
(inferior) e (superior). - Integrando:
.
A tarefa é encontrar o valor numérico exato (e, se quiser, uma aproximação) dessa integral definida.
Passo 2
Primeiro vamos simplificar a expressão do integrando de forma algébrica. Observe que
Dividindo ambos os termos por
obtemos
Essa reescrita é útil porque transforma a função em soma/diferença de funções mais simples de integrar.
Passo 3
Usando a linearidade da integral (a integral da diferença é a diferença das integrais), temos
Vou agora calcular cada uma dessas integrais separadamente.
Passo 4
A primeira integral é direta:
Explicação rápida: a primitiva de
é
, e o Teorema Fundamental do Cálculo diz para avaliar essa primitiva nos limites e subtrair.
Passo 5
A segunda integral usa uma primitiva padrão. Sabe-se (e pode-se verificar derivando) que
Portanto uma primitiva de
é
. Assim
Lembrando que
.
Passo 6
Juntando os resultados das duas integrais:
Substituindo
obtemos a forma final exata