Calcule as integrais definidas abaixo:
\int_{0}^{\pi / 2} \cos ^{2} \theta d \theta

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{\pi/2} \cos^{2}\theta \,d\theta.
O conteúdo-chave é usar a fórmula de redução de potência para funções trigonométricas, que torna a integral de \cos^{2}\theta mais simples de resolver.

Passo 2

Aplicamos a identidade de redução de potência:
\cos^{2}\theta = \frac{1 + \cos(2\theta)}{2}.
Isso transforma a integral original num somatório de duas integrais mais fáceis.

Passo 3

Substituindo na integral, temos
\int_{0}^{\pi/2} \cos^{2}\theta \,d\theta = \int_{0}^{\pi/2} \frac{1 + \cos(2\theta)}{2}\,d\theta = \frac{1}{2}\int_{0}^{\pi/2} 1\,d\theta + \frac{1}{2}\int_{0}^{\pi/2} \cos(2\theta)\,d\theta.

Passo 4

Calculemos a primeira parte:
\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi/2} 1\,d\theta = \frac{1}{2}\bigl[\theta\bigr]_{0}^{\pi/2} = \frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{4}.

Passo 5

Agora a segunda parte:
\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi/2} \cos(2\theta)\,d\theta = \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\bigl[\sin(2\theta)\bigr]_{0}^{\pi/2} = \frac{1}{4}\bigl(\sin(\pi)-\sin(0)\bigr) = \frac{1}{4}(0-0) = 0.

Passo 6

Somando as duas partes, a integral completa é
\frac{\pi}{4} + 0 = \frac{\pi}{4}.

Resposta

\displaystyle \frac{\pi}{4}

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