Calcule as integrais:
int 2 x(x+1)^{2025} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int 2x(x+1)^{2025}\,dx,
aplicando técnicas de manipulação algébrica e a regra de potências na integração.

Passo 2

Reescrevemos x como (x+1)-1 para facilitar a expansão:
2x(x+1)^{2025} =2\bigl((x+1)-1\bigr)(x+1)^{2025} =2\bigl((x+1)^{2026}-(x+1)^{2025}\bigr).

Passo 3

Com isso, a integral se separa em duas parcelas:
\int 2x(x+1)^{2025}\,dx =2\int (x+1)^{2026}\,dx -2\int (x+1)^{2025}\,dx.

Passo 4

Em cada termo aplicamos a fórmula
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1}+C,
fazendo a substituição u=x+1, du=dx.
Para n=2026:
\int (x+1)^{2026}\,dx =\frac{(x+1)^{2027}}{2027},
e para n=2025:
\int (x+1)^{2025}\,dx =\frac{(x+1)^{2026}}{2026}.

Passo 5

Substituindo esses resultados na separação inicial e incluindo a constante C, obtemos
\int 2x(x+1)^{2025}\,dx =2\frac{(x+1)^{2027}}{2027} -2\frac{(x+1)^{2026}}{2026} + C.

Resposta

\frac{2(x+1)^{2027}}{2027} -\frac{2(x+1)^{2026}}{2026} + C

Exercícios relacionados