Calcule as integrais definidas abaixo:
\int_{-1}^{0}\left(2 x-e^{x}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{-1}^{0}\bigl(2x - e^{x}\bigr)\,dx.
O conteúdo envolve integrais de funções polinomiais e exponenciais e o Teorema Fundamental do Cálculo para avaliar a antiderivada nos limites.

Passo 2

Pela linearidade, separamos a integral e encontramos a antiderivada de cada termo:
\int 2x\,dx = x^2,\qquad \int e^{x}\,dx = e^{x}.
Assim, uma primitiva de 2x - e^{x} é
F(x) = x^2 - e^{x}.

Passo 3

Calculamos F nos limites de integração:
F(0) = 0^2 - e^{0} = -1,
F(-1) = (-1)^2 - e^{-1} = 1 - e^{-1}.

Passo 4

Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo:
\int_{-1}^{0}\bigl(2x - e^{x}\bigr)\,dx = F(0) - F(-1) = \bigl(-1\bigr) - \bigl(1 - e^{-1}\bigr) = e^{-1} - 2.

Resposta

\displaystyle e^{-1} - 2

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