Calcule as integrais definidas abaixo:
\int_{0}^{\pi} x \operatorname{sen}(n x) d x, n \in \mathbb{N}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
I(n)=\int_{0}^{\pi} x \sin(n x)\,dx,
com n\in\mathbb{N}.
O conteúdo usado será integração por partes, que diz
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du.

Passo 2

Escolhemos
u = x,\quad dv = \sin(n x)\,dx.
Então
du = dx, \quad v = \int \sin(n x)\,dx = -\frac{\cos(n x)}{n}.

Passo 3

Pela fórmula de integração por partes,
I(n) = \bigl.u\,v\bigr|_{0}^{\pi} - \int_{0}^{\pi} v\,du = \left[-\frac{x\cos(n x)}{n}\right]_{0}^{\pi} - \int_{0}^{\pi}\Bigl(-\frac{\cos(n x)}{n}\Bigr)\,dx.
O termo de fronteira é
-\frac{\pi\cos(n\pi)}{n} - 0 = -\frac{\pi(-1)^{n}}{n}.

Passo 4

Falta a integral
\int_{0}^{\pi}\frac{\cos(n x)}{n}\,dx =\frac{1}{n}\left[\frac{\sin(n x)}{n}\right]_{0}^{\pi} =\frac{1}{n^2}\bigl(\sin(n\pi)-0\bigr)=0.
Portanto
I(n)=-\frac{\pi(-1)^{n}}{n} =\frac{\pi(-1)^{n+1}}{n}.

Resposta

\int_{0}^{\pi} x\sin(n x)\,dx = \frac{\pi(-1)^{n+1}}{n}.

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