Calcule as integrais:
\int \operatorname{tg}^{3} x \operatorname{sec} ^{2} x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \tan^{3}x\;\operatorname{sec}^{2}x\;dx.
O conteúdo aqui é integração por substituição, pois reconhecemos que a derivada de \tan x é \operatorname{sec}^{2}x.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = \tan x, \quad du = \operatorname{sec}^{2}x\,dx.
Com isso, o integrando vira
\tan^{3}x\;\operatorname{sec}^{2}x\,dx = u^{3}\,du.

Passo 3

Integramos em u:
\int u^{3}\,du = \frac{u^{4}}{4} + C.

Passo 4

Voltando à variável x, temos
\frac{u^{4}}{4} + C = \frac{\tan^{4}x}{4} + C.

Resposta

\frac{\tan^{4}x}{4} + C

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