Calcule as integrais:
\int \frac{d x}{\left(1+x^{2}\right) \sqrt{1-x^{2}}}

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
\int \frac{dx}{\bigl(1+x^{2}\bigr)\sqrt{1-x^{2}}}
O conteúdo é técnica de substituição trigonométrica para eliminar a raiz quadrada e depois uso de substituição de Weierstrass para resolver o integral resultante.

Passo 2

Fazendo a substituição trigonométrica
x = \sin\theta, \quad dx = \cos\theta\,d\theta, \quad \sqrt{1-x^{2}} = \cos\theta,
temos
\int \frac{dx}{\bigl(1+x^{2}\bigr)\sqrt{1-x^{2}}} = \int \frac{\cos\theta\,d\theta}{\bigl(1+\sin^{2}\theta\bigr)\cos\theta} = \int \frac{d\theta}{1+\sin^{2}\theta}.

Passo 3

Para
\int \frac{d\theta}{1+\sin^{2}\theta}
usamos a substituição de Weierstrass
t = \tan\theta, \quad d\theta = \frac{dt}{1+t^{2}}, \quad \sin^{2}\theta = \frac{t^{2}}{1+t^{2}}.
Assim
1+\sin^{2}\theta = 1 + \frac{t^{2}}{1+t^{2}} = \frac{1+2t^{2}}{1+t^{2}},
e a integral vira
\int \frac{d\theta}{1+\sin^{2}\theta} = \int \frac{\frac{dt}{1+t^{2}}}{\frac{1+2t^{2}}{1+t^{2}}} = \int \frac{dt}{1+2t^{2}}.

Passo 4

O integral
\int \frac{dt}{1+2t^{2}}
é padrão com fator 2 no quadrado de t. Escrevendo 1+2t^{2}=1+(\sqrt{2}\,t)^{2}, obtemos
\int \frac{dt}{1+2t^{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}\arctan\!\bigl(\sqrt{2}\,t\bigr) + C.

Passo 5

Volta à variável x:
t = \tan\theta, \quad \theta = \arcsin(x), \quad \tan\theta = \frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}}.
Portanto o resultado final é
\frac{1}{\sqrt{2}}\arctan\!\Bigl(\frac{\sqrt{2}\,x}{\sqrt{1-x^{2}}}\Bigr) + C.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}\arctan\!\Bigl(\frac{\sqrt{2}\,x}{\sqrt{1-x^{2}}}\Bigr) + C

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