Calcule as integrais:
\int 2 x(x+1)^{2025} d x

Passo 1

O enunciado nos pede para calcular
\int 2x(x+1)^{2025}\,dx.
O conteúdo envolve técnicas de integração, em especial mudança de variável (substituição).

Passo 2

Fazemos a substituição
u = x+1,
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du = dx \quad\text{e}\quad x = u - 1.
Assim, o integrando em função de u fica
2x(x+1)^{2025}\,dx =2(u-1)\,u^{2025}\,du.

Passo 3

Expandimos e integramos em u:
2\int (u-1)u^{2025}\,du =2\int\bigl(u^{2026}-u^{2025}\bigr)\,du =2\Bigl(\frac{u^{2027}}{2027}-\frac{u^{2026}}{2026}\Bigr)+C.

Passo 4

Voltando para a variável x usando u=x+1, obtemos
2\Bigl(\frac{(x+1)^{2027}}{2027}-\frac{(x+1)^{2026}}{2026}\Bigr)+C.

Resposta

2\Bigl(\frac{(x+1)^{2027}}{2027}-\frac{(x+1)^{2026}}{2026}\Bigr)+C.

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