Calcule as integrais definidas abaixo.
integral-1^1 1e^3 x+1 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida integral-1^1 1e^3x+1 , dx. Esse exercício envolve o cálculo de integrais, que faz parte do estudo do Cálculo Integral. Para resolver isso, vamos precisar entender como integrar funções exponenciais e aplicar os limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Sabemos que e^3x+1 = e^1 cdot e^3x, então podemos reescrever a função assim:
1e^3x+1 = 1e cdot e^3x = 1e cdot e^-3x
Isso facilita a integração, porque agora temos uma constante multiplicando uma função exponencial.

Passo 3

Agora, reescrevemos a integral com essa simplificação:
integral-1^1 1e cdot e^-3x , dx = 1e integral-1^1 e^-3x , dx
Extrair a constante 1e para fora da integral é permitido porque ela não depende de x.

Passo 4

Vamos integrar e^-3x em relação a x. A integral de e^ax é 1a e^ax + C, onde C é a constante de integração. Aplicando isso:
integral e^-3x , dx = 1-3 e^-3x + C = -13 e^-3x + C

Passo 5

Agora, aplicamos os limites de integração de -1 a 1:
1e [ -13 e^-3x ]-1^1 = 1e ( -13 e^-3(1) - ( -13 e^-3(-1) ) )
Simplificando dentro dos parênteses:
= 1e ( -13 e^-3 + 13 e^3 )

Passo 6

Fatorando 13:
= 1e cdot 13 ( e^3 - e^-3 ) = 13e ( e^3 - 1e^3 )

Passo 7

Podemos simplificar ainda mais, multiplicando numerador e denominador por e^3:
= 13e cdot e^6 - 1e^3 = e^6 - 13e^4

Resposta

A integral definida é igual a e^6 - 13e^4.

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