Encontre os valores máximo e mínimo absolutos de
no intervalo dado.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os valores máximo e mínimo absolutos da função $ f(x) = \left(x^{2} - 4\right)^{2} $ no intervalo de $ x $ de
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, como derivadas para encontrar extremos, além de analisar os pontos finais do intervalo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função que temos: $ f(x) = \left(x^{2} - 4\right)^{2} $. Isso é uma função polinomial, e queremos saber quais são os valores mais altos e mais baixos que ela atinge nesse intervalo específico.
Passo 3
Para encontrar os extremos (máximo e mínimo), precisamos achar onde a derivada da função é zero ou não existe dentro do intervalo. Então, vamos calcular a derivada de $ f(x) $.
Passo 4
Calculando a derivada de $ f(x) $:
Aqui, usamos a regra da cadeia para derivar a função composta.
Passo 5
Agora, vamos resolver $ f’(x) = 0 $ para encontrar os pontos críticos:
Isso nos dá:
Então, os pontos críticos são $ x = -2 $, $ x = 0 $ e $ x = 2 $.
Passo 6
Precisamos verificar esses pontos críticos dentro do intervalo
, assim como os pontos extremos do intervalo. Então, vamos avaliar $ f(x) $ em $ x = -2 $, $ x = 0 $, $ x = 2 $ e $ x = 3 $.
Passo 7
Calculando $ f(x) $ nessas posições:
Passo 8
Agora, com os valores calculados:
- Em $ x = -2 $, $ f(x) = 0 $
- Em $ x = 0 $, $ f(x) = 16 $
- Em $ x = 2 $, $ f(x) = 0 $
- Em $ x = 3 $, $ f(x) = 25 $
Resposta
O valor mínimo absoluto de $ f $ no intervalo
é $ 0 $, atingido em $ x = -2 $ e $ x = 2 $, e o valor máximo absoluto é $ 25 $, atingido em $ x = 3 $.