Encontre os valores máximo e mínimo absolutos de f no intervalo dado.
f(x)=(x^2-4)^2, x in[-2,3].

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os valores máximo e mínimo absolutos da função $ f(x) = \left(x^{2} - 4\right)^{2} $ no intervalo de $ x $ de f(x) = (x^2 - 4)^2 . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, como derivadas para encontrar extremos, além de analisar os pontos finais do intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função que temos: $ f(x) = \left(x^{2} - 4\right)^{2} $. Isso é uma função polinomial, e queremos saber quais são os valores mais altos e mais baixos que ela atinge nesse intervalo específico.

Passo 3

Para encontrar os extremos (máximo e mínimo), precisamos achar onde a derivada da função é zero ou não existe dentro do intervalo. Então, vamos calcular a derivada de $ f(x) $.

Passo 4

Calculando a derivada de $ f(x) $:
f(x)
Aqui, usamos a regra da cadeia para derivar a função composta.

Passo 5

Agora, vamos resolver $ f’(x) = 0 $ para encontrar os pontos críticos:
f'(x) = 0
Isso nos dá:
4x(x^2 - 4) = 0
Então, os pontos críticos são $ x = -2 $, $ x = 0 $ e $ x = 2 $.

Passo 6

Precisamos verificar esses pontos críticos dentro do intervalo [-2, 3], assim como os pontos extremos do intervalo. Então, vamos avaliar $ f(x) $ em $ x = -2 $, $ x = 0 $, $ x = 2 $ e $ x = 3 $.

Passo 7

Calculando $ f(x) $ nessas posições:
f(x)
f(-2) = ((-2)^2 - 4)^2 = (4 - 4)^2 = 0^2 = 0
f(0) = (0^2 - 4)^2 = (-4)^2 = 16
f(2) = (2^2 - 4)^2 = (4 - 4)^2 = 0^2 = 0

Passo 8

Agora, com os valores calculados:
  • Em $ x = -2 $, $ f(x) = 0 $
  • Em $ x = 0 $, $ f(x) = 16 $
  • Em $ x = 2 $, $ f(x) = 0 $
  • Em $ x = 3 $, $ f(x) = 25 $

Resposta

O valor mínimo absoluto de $ f $ no intervalo f é $ 0 $, atingido em $ x = -2 $ e $ x = 2 $, e o valor máximo absoluto é $ 25 $, atingido em $ x = 3 $.

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